埃爾米特伴隨

數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子 $A$ 都個有一個對應的伴隨算子（英語：adjoint operator），記作 $A^{*}$ ，伴隨算子可由以下關係定義

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

其中 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 是向量空間中的內積。

算子 $A$ 的伴隨 $A^{*}$ 亦可稱作埃爾米特伴隨（英語：Hermitian adjoint），以夏爾·埃爾米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子 $A$ 的埃爾米特伴隨常被記作 $A^{\dagger }$ （狄拉克符號記法）。

有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。

泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希爾伯特空間中的線性算子。

有界算子

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 。考慮連續線性算子A : H → H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

A* : H → H具有如下性質：

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

，對所有

x,y\in H

。

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

馬上可得的性質

如果我們定義A的算子範數為

\|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}

則

\|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},

而且有

\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}

。

希爾伯特空間H上有界線性算子與伴隨算子以及算子範數給出一個C*代數例子。

A的像與它的伴隨的核的關係為

\ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },

\left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}

。

第一個等式的證明：

{\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}

第二個等式由第一個推出，於兩邊取正交空間即可。注意到一般地，像未必是閉的，但連續算子的核總是閉的。

有界算子A: H → H稱為埃爾米特或自伴如果

A = A*

這等價於

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\forall x,y\in H

。

在某種意義下，這種算子起著實數（等於他們的復共軛）的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴算子一文。

許多重要的算子不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形，我們仍然能定義伴隨，在自伴算子一文有解釋。

範疇論中，方程

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

形式上類似地定義了伴隨函子偶性質，這也是伴隨函子得名之由來。