圓台

一个圆锥被平行于它的底面的一个平面所截后,截面与底面之间的几何形体

圓台,又稱截頂圓錐圓亭,是幾何學中研究的一類三維形體,指一個圓錐平行於它的底面的一個平面所截後,截面與底面之間的幾何形體。截面也稱為圓台的上底面,原來圓錐的底面稱為下底面。隨著圓錐形狀不同,圓台的稱呼也不相同。一般說到圓台都是指正圓台,也就是指正圓錐截出的圓台。正圓台和圓形有相同的對稱結構。以下除非另作註明,「圓台」都指正圓台。

一個圓台
一個圓台

性質

體積

圓台的體積取決於兩底面之間的距離(圓台的高),以及原來圓錐的體積。設 為圓台的高,  為稜台的上下底面半徑,  為圓台的體積。由於圓台是由一個平面截去圓錐的一部分(也就是和原來圓錐相似的一個小圓錐)得到,所以計算體積的時候,可以先算出原來圓錐的體積,再減去和它相似的小圓錐的體積。圓錐被平行於底面的平面所截時,截面圓的半徑與底面半徑的比,等於小圓錐和原圓錐的高的比。假設原圓錐的高是 ,那麼小圓錐的高是 。也就是說:

 

所以:

 

圓台的體積等於原圓錐體積減去小圓錐的體積:

 

九章算術》記載的圓台體積公式:「上下周相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三十六而一。」這是將圓周率的值取為3得到的。

表面積

圓台的側面展開圖是一個「扇面形」,也就是兩個同心扇形的差。展開圖的面積,就是兩個扇形的面積差,其中 是圓台的母線長度:

 

圓台的表面積St等於圓台的側面積Sc加上兩底的面積SuSd

 

參看

  • 稜台:平行於稜錐底面的平面截稜錐,截面和底面之間的部分;
  • 圓錐:圓的各個切線和圓外一點所成的平面包圍得到的立體。
  • 平截頭體:平行於錐體底面的平面截去錐體頂部後得到的幾何體,分為稜台和圓台。

參考資料