因次分析

因次分析（英語：dimensional analysis）是指數學或物理學中物理量的因次可以用來分析或檢核幾個物理量之間的關係。

通常，一個物理量的因次是由像質量、長度、時間、電荷量、溫度一類的基礎物理因次結合而成。

推導獲得的方程式或計算結果是否基本上合理，慣常可以用因次分析來檢察。對於較複雜的物理狀況，因次分析也可以用來構築合理假定（參見關聯模型），然後，做嚴格的實驗加以測試，或用已發展成功的理論仔細檢試。因次分析能夠按照各種物理量的因次，將它們詳細分類。

牛頓相似性原理

早在十七世紀，艾薩克·牛頓就已經提出因次分析的基本原理，現在知名為「牛頓相似性原理」。在建立因次分析的現代用法上，詹姆斯·麥克斯韋也扮演了重要的角色，他區分質量、長度、時間的計量單位為「基礎單位」，又將其它單位分類為「衍生單位」。十九世紀法國數學家約瑟夫·傅立葉也做出巨大貢獻。他表明，類似牛頓第二定律$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$的物理定律，其方程式應該與計量物理量的單位無關。這引致出重要結論：有意義的定律，對於其方程式的每一個計量單位，這方程式都必需是齊次方程式。這結果最終形式化成為白金漢π定理（Buckingham π theorem）。假設一個有物理意義的方程式具有$n$個變數與$m$個基礎因次，白金漢π定理描述怎樣將這方程式等價地重寫為具有$n-m$個無因次參數的方程式。更重要的是，從設定的變數，這定理給出了一種能夠計算這些無因次參數的方法。

通過無因次化（nondimensionalization）技法，一個具有因次的方程式可以降低或消除其因次。這技法首先使用因次分析，這技法使用系統的基礎單位或大自然的自然單位來按比例改變物理量的數值。這技法可以使得物理學者更了解系統的基礎性質。稍後，會有更詳細說明。

定義

一個物理量的因次是質量、長度、時間、電荷量、溫度的結合，分別由符號M、L、T、Q、Θ代表，每一個都提升至有理數冪。

注意到術語「因次」比尺度「單位」更抽象：質量是一種因次，而公斤是因次為質量的一種尺度單位。對於每一種因次，不同的標準制會規定不同的單位。

例如，物理量速度的因次是長度／時間（L/T或LT ⁻¹），物理量作用力的因次是質量×長度／（時間的平方）（ML/T² or MLT ⁻²）。原則而言，其它種物理量的因次也可以定義為基礎因次，可以替換上述幾個因次。例如，動量、能量或電流都可以選為基礎因次。

有些物理學者不認為溫度是基礎因次，因為溫度表達為粒子的能量每自由度，這可以以能量（或質量、長度、時間）來表達。有些物理學者不認為電荷量是基礎因次；在厘米-克-秒制內，電荷量可以以質量、長度、時間共同結合在一起來表達。另外，還有一些物理學者懷疑，大自然存在著具有不相容基礎因次的物理量。

計量單位與因次密切相關，但內含的概念大不相同。物理量的單位是由常規定義，與標準制有關。例如，長度的單位可以是公尺、英呎、英哩或微米；但是，任何長度的因次必定是L，這與單位無關。同一個物理量的兩種不同的單位之間，是靠著轉換因子（conversion factor）從一個單位轉換到另一個單位。例如，1 in = 2.54 cm，注意到在這裡「2.54 cm/in」是轉換因子，不具有因次，其數值等於1。因此，假若將任何物理量乘以轉換因子，得到的結果數值不變。因次符號與因次符號之間，沒有轉換因子。

數學性質

主條目：白金漢π定理

因次符號，像L，形成一個群：

1. 這群的運算方法是乘法，Lⁿ×L^m = L^n+m。因此，這種運算方法符合閉包律
2. 單位元是L⁰ = 1。因次為L⁰的物理量是無因次物理量。
3. 逆元是1/L or L⁻¹。
4. L提升至任意有理數冪p，L^p也是群的元素。其逆元是L^−p或1/L^p。

因次符號形成一個有理數的向量空間。例如，因次符號MⁱL^jT^k對應於向量(i,j,k)。當兩個物理量（不論其因次是否相同）相乘或相除，它們的因次也同樣的相乘或相除，這對應於相加或相減於向量空間。當物理量提升至有理數冪，其因次也會提升至同樣的有理數冪，這對應於純量乘法於向量空間。

給定因次符號的向量空間，其基底是以基礎因次為元素的集合，所有其它向量稱為衍生因次。如同在任何向量空間，有不同的基底可供自由選擇，這會造成不同的單位制。例如，選擇電荷量單位是衍生於電流單位，或反之亦可。

無因次物理量對應於向量空間的原點。

白金漢π定理（Buckingham π theorem）闡明，對於某個物理問題，如果存在n個變量， 其中有m個基本量，則存在n-m個獨立的無因次參數，即可以將n個變量組合成n-m個無因次π數。

以簡單擺運動為例，這個物理問題存在5個變量：擺球的質量$m$、 擺線的長度$l$、擺角$\theta$、時間$t$和重力加速度$g$，其中有3個基本量：質量、長度和時間，則存在2個獨立的無因次π數，如$\Pi _{1}={\sqrt {l/gt^{2}}}$和$\Pi _{2}=\theta$。

例子

力可以透過艾薩克·牛頓著名的公式

$F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=m{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}$

做因次分析，[M]代表質量因次，[L]代表長度因次，[T]代表時間因次，則為：

$[F]=[M][L][T^{-2}]\,$

相應地，力的國際單位牛頓（N）的定義是：

$N=kg\cdot {\frac {m}{s^{2}}}$，即公斤（kg）·米（m）·秒（s）負二次方。

若力沿著一定路徑作功：

$W=\int _{x_{0}}^{x_{1}}Fdx$

可以看出因次上：

$[W]=[F][L]=[M][L^{2}][T^{-2}]\,$

另外，非相對論（即古典力學裡）動能的定義：

$E_{k}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}$

其因次為：

$[E_{k}]=[M]([L][T^{-1}])^{2}=[M][L^{2}][T^{-2}]\,$

因次和功相同。這也和功能定理相應。

應用

透過因次分析可以對物理推導過程進行檢驗，確認前後是否一致無誤。

此外，一些物理學上的演繹是透過因次分析而生的，例如普朗克長度、普朗克時間與普朗克質量。它們的出現最先是透過將普朗克常數、光速、重力常數三項常數組合出長度因次、時間因次、質量因次而衍生得到它們應該具有的數值。

參見

• 因次

外部連結

• 阿草的葫蘆--文化活動中的數學（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）