可平行化流形
數學中,一個 n 維光滑流形 M 為可平行化流形 是指具有向量場
- V1, ..., Vn,
使得在 M 中任何一點 P 的切向量
- Vi, P
組成 P 點切空間的一組基。等價地說,切叢是平凡叢,所以相伴的線性標架主叢有一個 M 的整體截面。
選取 M 上這樣特定的一組向量場的基稱為 M 的一個平行化或絕對平行化。
例子
n=1 的一個例子是圓周:我們取 V1 為單位切向量場,比如都指向逆時針方向。n 維環面也可以平行化,因為可以看作是圓周的笛卡爾積。譬如取 n=2,將正方形坐標紙的對邊粘貼起來便組成了一個環面,取每個點的兩個切方向即可。更一般地,任何李群 G 可平行化,因為在單位元的切空間上一組基可以通過變換群 G 在 G 上的作用移到任何一點。(任何變換是一個微分同胚從而這些微分同胚誘導了 G 上點的切空間的一個線性同構。)
一個經典問題是確定一個球面 Sn 是否可平行化。S1 即為圓周,可以平行化已經解釋了。毛球定理指出 S2 n 不能平行化。但是 S3 可以平行化,因為它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 S7;1958年被 Michel Kervaire 證明,拉烏爾·博特和約翰·米爾諾也獨立地得到了這個結論。
注
- 術語標架流形(或裝備流形)通常用於給定了一個法叢的平凡化的嵌入流形。