可分空間

數學中,一個拓撲空間被稱為可分空間當它包含一個可數稠密子集,也就是說,存在一個序列,使得此空間中的每個非空的開子集都有這個序列中的至少一個元素。

可數性公理一樣,可分性是一種對空間「大小」的「限制」,雖然這個限制並不一定就是對空間中元素多少的限制(然而在豪斯多夫公理成立的時候這兩者是一樣的)。特別地,可分空間中的每個連續函數,只要其圖像是某個豪斯多夫空間的子集的話,就會被其在某個可數的稠密子集上的取值所確定。

一般來說,對於經典分析學和幾何學中的空間來說,可分性是一個很有用的技術性假設,也被認為是比較弱的假設。

例子

首先,所有的由有限集或者可數集構成的空間都是可分空間。由不可數集所構成的拓撲空間中,一個可分空間的重要例子是由所有實數組成的實數集空間,因為所有的有理數在其中構成了一個可數的稠密子集。類似地,所有由向量  所構成的空間  也是可分空間,也即是說,所有的有限維歐幾里德空間都是可分的。

不可分空間的一個簡單例子是基數不可數的離散空間

可分性與第二可數性

每個第二可數空間都是可分的: 如果   是一個可數基底,那麼只要選擇任意一個   就可以得到一個可數並且稠密的子集。反過來說,一個度量空間可分若且唯若它是第二可數的或林德洛夫空間

參考來源