卡諾定理 (內切圓、外接圓)

設ABC為三角形,O為其外心。則O到ABC各邊的距離之和為

其中r為內切圓半徑,R為外接圓半徑。這個定理叫做卡諾定理(法語:Théorème de Carnot),以拉扎爾·卡諾為名。

引理

 中,  之外接圓半徑,且  之內切圓半徑,則

 

證明

假設 為銳角三角形,  之外接圓圓心,  三邊之距離分別為   ,其中   之距離,   之距離,   之距離。連接  ,在 中,根據三角形外心性質,可以得到

 
 

所以,可以得到 的表示式,

 

同理,亦可得到  的表示式,

 
 

因此,

 
 
 
 
 
 
 
 

根據引理,即可得證,

 

此外,若 為鈍角三角形,且 大於 度,其餘符號假設均與上面相同,則可以得到,

 
 
 

所以,

 
 
 

故得證卡諾定理。

參考資料