凱萊–哈密頓定理

在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（英語：Cayley–Hamilton theorem）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·盧雲·哈密頓命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說：設$A$為給定的$n\times n$矩陣，並設$I_{n}$為$n\times n$單位矩陣，則$A$的特徵多項式定義為：

$p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)$

其中$\det$表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言：

$p(A)=O$

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若爾當標準形時特別有用。

例子

舉例明之，考慮下述方陣：

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$

其特徵多項式為

$p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2$

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理：

$A^{2}-5A-2I_{2}=O$

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

$A^{2}-5A-2I_{2}=O$

$A^{2}=5A+2I_{2}$

例如，為了計算$A^{4}$，可以反覆利用上述關係式：

$A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}$

$A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A$

$A^{4}=145A+54I_{2}$

或是，如果要計算$A^{n}$，也可以假設：

$A^{n}=aA+bI$

然後，依照前面的特徵多項式$\lambda ^{2}-5\lambda -2$之兩解$\lambda _{1},\lambda _{2}$，代入後可以得到

$\lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b$

$\lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b$

然後解方程式後求出$a,b$，便可得$A^{n}$。

此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

註：一般而言，若$n\times n$矩陣$A$可逆（即：$\det(A)\neq 0$），則$A^{-1}$可以寫成$A$的冪次和：特徵多項式有如下形式

$p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)$

將方程式$p(A)=0$同乘以$A^{-1}$，便得到

$A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )$

定理證明

以下考慮佈於體$k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若$S$是$n\times n$矩陣，而$\operatorname {adj} (S)$表其伴隨矩陣，則

$S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}$

取$S=tI_{n}-A$，便得到$(tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}$。此式對所有$t$皆成立，由於實數或複數體有無窮多元素，上式等式在多項式環$k[t]$內成立。

設$M:=k^{n}$，矩陣$A$賦予$M$一個$k[t]$-模結構：$f(t)\cdot m=f(A)m$。考慮$k[t]$-模$M[t]:=M\otimes _{k}k[t]$，我們有$k[t]$-模之間的「求值態射」：

$e_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m$

固定$m\in M$，對$M[t]$中的等式

$(tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)\,m=p_{A}(t)m$

右側取$e_{A}$後得到$p_{A}(A)m$，左側取$e_{A}$後得到$(A-A)\cdot (\cdots )=0$。明所欲證。

另外一個簡單的證明：
令：

$B={\mbox{adj}}(tI_{n}-A)$

由:

$S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}$

得：

$(tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}$

${\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\end{aligned}}$

$p(t)I_{n}=\det(tI_{n}-A)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}$

因兩多項式，他們的對應項係數相等得：

$B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}~$

在等式兩邊t的i次項係數分別乘以Aⁱ, 並將等式左右兩邊分別相加併合項得：

$O=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=p(A)$

得證。

抽象化與推廣

前述證明用到係數在$k[t]$的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環$R$上的任何有限生成自由模$M$（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結

• PlanetMath 上的證明（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）