幾何積分

常微分方程的數值計算中,幾何積分是一種保留微分方程的流的精確幾何特性的數值方法。

以擺為例

可考慮單擺運動以引出幾何積分的研究。

設擺錘質量為 ,擺杆長度為 。設重力加速度為 。用 表示杆偏移垂直方向的角位移,並用 表示擺的動量,則系統的哈密頓量動能勢能之和)為

 

其給出哈密頓方程

 

很自然,可將所有 位形空間 看做單位圓 ,這樣 就位於圓柱體 上。取 只是因為 空間會更方便繪製。定義  。讓我們用一些簡單的數值方法對這個系統進行積分。像往常一樣,選擇常數步長 ,對任意非負整數  。 我們用以下方法:

 顯式歐拉);
 (隱式歐拉);
 (辛歐拉);
 (隱式中點法則)。

(注意,辛歐拉法用顯式歐拉法處理q,用隱式歐拉法處理 。)

觀察到 在哈密頓方程的解曲線上是常數,於是可以描述系統的精確軌跡,是 水平曲線。在 中繪製了系統的精確軌跡和數值解。對顯式、隱式歐拉法,分別取 z0 = (0.5, 0)及(1.5, 0);對其他兩種方法,分別取 z0 = (0, 0.7);(0, 1.4)及(0, 2.1)。

 
單擺軌跡

顯式(或隱式)歐拉法是從原點向外(或向內)的螺旋運動。另兩種方法顯示了正確的定性行為,隱式中點法則與精確解的吻合程度高於辛歐拉法。

回顧一下,具有1自由度的哈密頓系統的精確流 是保面積的,即

  for all  .

此式很容易手動驗證。對我們的單擺例子,可以發現,顯式歐拉法的數值流 保面積;即

 

隱式歐拉法也可進行類似計算,行列式為

 

辛歐拉法保面積的:

 

於是 。隱式中點法則具有類似的幾何特性。

總結:單擺例表明,除顯式、隱式歐拉法不是解決問題的好方法外,辛歐拉法和隱式中點法則與系統的精確流非常吻合,後者更精確。而且後兩種方案與精確流都保面積,是幾何積分(實際上是辛積分)的兩個例子。

活動標架法

活動標架法可用於構建保持ODE對稱性的數值方法。龍格-庫塔法等現有方法可用活動標架法進行修改,以產生不變版本。[1]

另見

參考文獻

閱讀更多

  • Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-43003-2. 
  • Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian. Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge University Press. 2005. ISBN 0-521-77290-7. 
  • Budd, C.J.; Piggott, M.D. Geometric Integration and its Applications. Handbook of Numerical Analysis 11. Elsevier. 2003: 35–139. ISBN 9780444512475. doi:10.1016/S1570-8659(02)11002-7. 
  • Kim, Pilwon. Invariantization of Numerical Schemes Using Moving Frames. BIT Numerical Mathematics 47 (3). Springer. 2007: 525–546. doi:10.1007/s10543-007-0138-8.