伊藤引理

在隨機分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了對於一個隨機過程的函數作微分的規則。

伊藤引理較早版本

第一引理

對於布朗運動$W_{t}$和二次可導函數$f(x)$，以下等式成立：

$df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt$

其中過程：

$dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt$

其主要可通過對多項式環到形式冪級數的拓展，例如：

$de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt$

第二引理

對於伊藤過程$X_{t}$和二次可導函數$f(t,x)$，以下等式成立

$df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}$

第三引理

定義伊藤過程$X_{t}$為滿足下列隨機微分方程式的隨機過程

$dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$

對於伊藤過程$X_{t}$和二次可導函數$f(t,x)$，以下等式成立：

$df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.$

類似地，定義多維伊藤過程$\mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}$使得

$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}$

其中${\boldsymbol {\mu }}_{t}$為n維向量，$\mathbf {G} _{t}$為n階方塊矩陣；有如下等式：

${\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}$

其中，$\nabla _{\mathbf {X} }f$是f關於X的梯度，H_X f 是f關於X的黑塞矩陣，Tr是跡的符號。

到半鞅的拓展

連續半鞅

$df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$

不連續半鞅

${\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}$

卜瓦松過程

我們也可以定義非連續隨機過程的函數。

定義跳躍強度h，根據跳躍的卜瓦松過程模型，在區間$[t,\ t+\Delta t]$上出現一次跳躍的機率是$h\Delta t$ 加上$\Delta t$的高階無窮小量。h可以是常數、顯含時間的確定性函數，或者是隨機過程。在區間$[0,t]$上沒有跳躍的機率稱為生存機率$p_{s}(t)$，其變化是：

$dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.$

因此生存機率為：

$p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).$

定義非連續隨機過程$S(t)$，並把$S(t^{-})$記為從左側到達t時S的值，記$d_{j}S(t)$是一次跳躍導致$S(t)$的非無窮小變化。有：

$d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))$

$\eta (S(t^{-}),z)$是跳躍幅度z的機率分布，跳躍幅度的期望值是：

$E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.$

定義補償過程和鞅$dJ_{S}(t)$：

$dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.$

因此跳躍的非無窮小變化，也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為：

$d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).$

因此如果隨機過程$S$同時包含漂移、擴散、跳躍三部分，可以寫為：

$dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).$

考慮其函數$g(S(t),t)$。$S(t)$跳躍$\Delta s$的幅度，會導致$g(t)$跳躍$\Delta g$幅度。$\Delta g$取決於g的跳躍分布$\eta _{g}()$，有可能依賴於跳躍前的函數值$g(t^{-})$，函數微分dg以及跳躍前的自變數值$S(t^{-})$。$g$的跳躍部分是：

${\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}$

函數$g(S(t),t)$的伊藤引理是：

${\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}$

可以看到，漂移-擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

應用例子

布萊克-舒爾茲模型

伊藤引理可以用於推導布萊克-舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$，且其期權的價格是股票價格和時間的函數$V=f(t,S)$。根據伊藤引理，有

$df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW$

整理可得

$df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS$

式中${\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS$項表明期權價格的波動等於持有${\frac {\partial f}{\partial S}}$單位股票時的波動。在這個對應下，現金的部分應該以無風險利率$r$增長，即

$df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS$

比較兩式$dt$項的係數，可得

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0$

參看

• 費曼－卡茨公式

參考資料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy