中間值定理

數學定理

數學分析中,中間值定理(英語:intermediate value theorem,又稱介值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

假設 為一連續函數。若一實數 滿足 ,則存在一實數 使得

中間值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

定理

 
中間值定理圖解

定理敘述

中間值定理 —  ,且   為一連續函數。則下列敘述成立:

  • 對任意滿足   的實數  ,皆存在一實數   使得  
  •  值域為一閉區間。

證明

先證明第一種情況  ;第二種情況也類似。

  為所有滿足    所構成的集合。由   可知   非空。由於   具有上界  ,故由實數的完備性 最小上界  。我們以反證法證明  

  • 首先假設  。由於   連續,我們能找到正實數   使得   對所有   均成立。由於  ,故存在滿足   ;此時  ,故  ,即  ,與   矛盾。故原假設   不成立。
  • 接著假設  。由於   連續,我們能找到正實數   使得   對所有   均成立。設  ;此時  ,即  ,故  。這會導致   不是   的上界,矛盾。故原假設   不成立。

因此 

與實數完備性的關係

此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數 滿足 ,但不存在滿足 的有理數 

零點定理(波爾查諾定理)

零點定理是中間值定理的一種特殊情況-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

設函數 在閉區間 上連續,且 ,則必存在 使 成立。由於零點定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理伯納德·波爾查諾於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即中間值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]

現實世界中的意義

中間值定理意味著在地球的任何大圓上,溫度壓強海拔二氧化碳濃度(或其他任何連續變化的變量),總存在兩個對蹠點,在這兩個點上該變量的值是相同的。

證明:f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線,與圓相交於點A和點B。設df(A) − f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度,將得到值−d。根據中間值定理,一定存在某個旋轉角,使得d = 0,在這個角度上便有f(A) = f(B)。

這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。

參見

參考資料

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 

外部連結