抽象代數中,一個群的交換子(commutator)或換位子是一個二元運算子。設gh 是 群G中的元素,他們的交換子g −1 h −1 gh,常記為[ g, h ]。只有當gh符合交換律(即gh = hg)時他們的交換子才是這個單位元

一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G導群,記作D(G)

群論

G中兩個元素gh交換子為元素

[g, h] = g−1h−1gh

它等於群的么元若且唯若gh可交換(即gh = hg)。

環論

結合代數上兩個元素ab交換子定義為:

 

量子力學

量子力學中,經常用到對易關係commutation relation),即

 

其中;  均為量子力學的算符 是其對易算符,也稱交換子

如果上式等於零,則稱  對易的,即意味著  兩個算符的運算順序可以調換。反之則稱非對易的,運算順序不可以調換。

量子力學中,交換子有以下特性:

 
 
 
 
 
 

量子力學中的各個力學量之間,常用的對易關係有:

以下, 位置算符 動量算符 角動量算符(包括軌道角動量、自旋角動量等),而 克羅內克δ 列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三個方向中的任意一個。

對易關係 更具體的形式
    
    
      
     

正則對易關係

物理學中,正則對易關係正則共軛的量之間的關係,這樣的量從定義可以發現:一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說:

 

上面的xp分別為一維空間中的一點粒子的位置動量,而 為所謂  交換算符 虛數單位 約化普朗克常數,等於 。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩,並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理

與古典力學的關係

相對於量子力學古典物理中所有可觀測量都可對易(交換),而交換算符會是零;然而仍然有類似的關係存在:需將交換子換成卜瓦松括號,且常數 換成 

 

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設:一般來說,古典的觀測量 其量子對應項 應滿足

 

於1927年,赫爾曼·外爾(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制,稱作魏爾量子化(Weyl quantization),為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。

延伸閱讀

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