二次剩餘

在數論中，特別在同餘理論裏，一個整數 $X$ 對另一個整數 $p$ 的二次剩餘（英語：Quadratic residue）指 $X$ 的平方 $X^{2}$ 除以 $p$ 得到的餘數。

當存在某個 $X$ ，式子 $X^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ 成立時，稱「 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘」

當對任意 $X$ ， $X^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ 不成立時，稱「 $d$ 是模 $p$ 的二次非剩餘」

研究二次剩餘的理論稱為二次剩餘理論。二次剩餘理論在實際上有廣泛的應用，包括從噪音工程學到密碼學以及大數分解。

前幾個自然數的二次剩餘

下表列出了1至25對2至25的二次剩餘。

二次剩餘列表
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
mod 2	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
mod 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
mod 4	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
mod 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
mod 6	1	4	3	4	1	0	1	4	3	4	1	0	1	4	3	4	1	0	1	4	3	4	1	0	1
mod 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
mod 8	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1	4	1	0	1
mod 9	1	4	0	7	7	0	4	1	0	1	4	0	7	7	0	4	1	0	1	4	0	7	7	0	4
mod 10	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0	1	4	9	6	5
mod 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
mod 12	1	4	9	4	1	0	1	4	9	4	1	0	1	4	9	4	1	0	1	4	9	4	1	0	1
mod 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
mod 14	1	4	9	2	11	8	7	8	11	2	9	4	1	0	1	4	9	2	11	8	7	8	11	2	9
mod 15	1	4	9	1	10	6	4	4	6	10	1	9	4	1	0	1	4	9	1	10	6	4	4	6	10
mod 16	1	4	9	0	9	4	1	0	1	4	9	0	9	4	1	0	1	4	9	0	9	4	1	0	1
mod 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
mod 18	1	4	9	16	7	0	13	10	9	10	13	0	7	16	9	4	1	0	1	4	9	16	7	0	13
mod 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
mod 20	1	4	9	16	5	16	9	4	1	0	1	4	9	16	5	16	9	4	1	0	1	4	9	16	5
mod 21	1	4	9	16	4	15	7	1	18	16	16	18	1	7	15	4	16	9	4	1	0	1	4	9	16
mod 22	1	4	9	16	3	14	5	20	15	12	11	12	15	20	5	14	3	16	9	4	1	0	1	4	9
mod 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
mod 24	1	4	9	16	1	12	1	16	9	4	1	0	1	4	9	16	1	12	1	16	9	4	1	0	1
mod 25	1	4	9	16	0	11	24	14	6	0	21	19	19	21	0	6	14	24	11	0	16	9	4	1	0

研究歷史以及基本概念

從17世紀到18世紀，費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數論學家對二次剩餘理論作了初步的研究，證明了一些定理^[1]並作出了一些相關的猜想^[2]，但首先對二次剩餘進行有系統的研究的數學家是高斯。他在著作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae，1801年）中首次引入了術語「二次剩餘」與「二次非剩餘」，並聲明在不至於導致混淆的行文中，可以省略「二次」兩字。

為了得到關於一個整數 $n$ 的所有二次剩餘（在一個完全剩餘系中），我們可以直接計算0, 1,…, n − 1的平方模 $n$ 的餘數。但只要注意到a² ≡(n − a)²(mod n)，我們就可以減少一半的計算量，只算到n/2了。於是，關於 $n$ 的二次剩餘的個數不可能超過n/2 + 1（n為偶數）或(n + 1)/2（n為奇數）^[3]。

兩個二次剩餘的乘積必然還是二次剩餘。

基本結論

質數二次剩餘

對於質數2，每個整數都是它的二次剩餘。

以下討論 $p$ 是奇質數的情況：

對於 $X$ ， $X^{2}\equiv d{\pmod {p}}$ 而言，能滿足「 $d$ 是模 $p$ 的二次剩餘」的 $d$ 共有 ${\frac {(p+1)}{2}}$ 個（剩餘類），分別為：

$0^{2},1^{2},...\left({{\frac {(p-1)}{2}}-1}\right)^{2},\left({\frac {p-1}{2}}\right)^{2}$ （0計算在內）

此外是 ${\frac {(p-1)}{2}}$ 個二次非剩餘。但在很多情況下，我們只考慮乘法群Z/pZ，因此不將0包括在內。^[4]這樣，每個二次剩餘的乘法逆元仍然是二次剩餘；二次非剩餘的乘法逆元仍然是二次非剩餘。^[5]二次剩餘的個數與二次非剩餘的個數相等，都是 ${\frac {(p-1)}{2}}$ 。^[4]此外，兩個二次非剩餘的乘積是二次剩餘，二次剩餘和二次非剩餘的乘積是二次非剩餘。^[5]

應用二次互反律可以知道，當 $p$ 模4餘1時，-1是 $p$ 的二次剩餘；如果 $p$ 模4餘3，那麼，-1是 $p$ 的二次非剩餘。

要知道d是否為模p的二次剩餘，可以運用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。

質數乘方的二次剩餘

每個奇數的平方都模8餘1，因此模4也餘1。設a是一個奇數。m為8，16或2的更高次方，那麼a是關於m的二次剩餘若且唯若a ≡ 1(mod 8)^[6]。

比如說，在模32時，所有的奇數的平方分別是：
1² ≡ 15² ≡ 1

3² ≡ 13² ≡ 9

5² ≡ 11² ≡ 25

7² ≡ 9² ≡ 17

模8都餘1。而偶數的二次剩餘是：

0² ≡ 8² ≡ 16² ≡ 0

2² ≡ 6²≡ 10² ≡ 14²≡ 4

4² ≡ 12² ≡ 16

可以看出，關於8，16或2的更高次方的二次剩餘是具有4^k(8n + 1)形式的所有數，其中 $k$ 、 $n$ 為整數。

對於奇質數 $p$ 以及與 $p$ 互質的整數 $A$ ， $A$ 是關於 $p$ 的若干次乘方的剩餘若且唯若它是關於 $p$ 的剩餘。

設模的是pⁿ（n次乘方），

那麼p^kA

當k ≥ n時是模pⁿ的剩餘；

當k < n並為奇數時是模pⁿ的非剩餘。

當k < n並為偶數時，

如果

A

是關於

p

的剩餘，那麼p^kA就是模pⁿ的剩餘；

如果

A

是關於

p

的非剩餘，那麼p^kA就是模pⁿ的非剩餘^[7]。

合數二次剩餘

首先可以看出，

如果a是模n的剩餘，並且p^k 整除n，那麼a是模p^k的剩餘。

如果a是模n的非剩餘，那麼存在p^k 整除n，使得a是模p^k的非剩餘。

對於模合數的情況，兩個剩餘的乘積仍然是剩餘，剩餘和非剩餘的乘積必為非剩餘，但是兩個非剩餘的乘積則可能是剩餘、非剩餘或0。

比如，對於模15的情況
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14（粗斜體為二次剩餘）。
兩個二次非剩餘2和8的乘積是二次剩餘1，但另外兩個二次非剩餘2和7的乘積是二次非剩餘14。

推廣

二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意 $X$ ， $X^{n}\equiv d{\pmod {p}}$ 中 $d$ 是否為模 $p$ 的 $n$ 次剩餘的問題。

注釋及參考來源

^ Lemmemeyer, Ch. 1
^ Lemmermeyer, pp 6–8, p. 16 ff
^ Gauss, Disquisitiones Arithmeticae（以下稱DA）, art. 94
^ ^4.0 ^4.1 Gauss, DA, art. 96
^ ^5.0 ^5.1 Gauss, DA, art. 98
^ Gauss, DA, art. 103
^ Gauss, DA, art. 102
^ Gauss, DA, art. 131
^ 比如哈代和懷特就使用它們。
^ Gauss, DA, art 230 ff.
^ 這個擴張對於定義L函數是必須的。

閔嗣鶴、嚴士健，《初等數論》，第二版，高等教育出版社，2001年。

外部連結

李宗儒，高斯二次互反律^{[永久失效連結]}

[1] Lemmemeyer, Ch. 1

[2] Lemmermeyer, pp 6–8, p. 16 ff

[3] Gauss, Disquisitiones Arithmeticae（以下稱DA）, art. 94

[DA96-4] 4.0 ^4.1 Gauss, DA, art. 96

[DA98-5] 5.0 ^5.1 Gauss, DA, art. 98

[6] Gauss, DA, art. 103

[7] Gauss, DA, art. 102

[8] Gauss, DA, art. 131

[9] 比如哈代和懷特就使用它們。

[10] Gauss, DA, art 230 ff.

[11] 這個擴張對於定義L函數是必須的。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0\\+1\\-1\end{cases}}$	如果p整除a；
	如果a是模p的二次剩餘且p不整除a
	如果a是模p的二次非剩餘。