烏雷松度量化定理

烏雷松度量化定理給出了一個拓撲空間可度量化的充分條件。一個拓撲空間 $(X,\tau )$ 上，若能定義一個度量 $d\colon X\times X\to [0,\infty )$ 使得拓撲 $\tau$ 由 d 誘導產生，就稱為可度量化。^[1]^[2]

內容

定理斷言如果一個拓撲空間X是正則的，且有一組可數基（即第二可數），那麼X是可度量化的。例如，由定理能推論出，每個第二可數的流形都可度量化。

歷史上，安德烈·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫在 1926 年證明了該定理。1925 年，烏雷松在死後才發表的論文中，只證明了每個第二可數的正規郝斯多夫空間都可度量化。

然而，注意定理給出的是充分條件，這意味著可度量化空間的基不一定可數，例如具有離散拓撲的實數軸R，它的拓撲必然包括R上所有的單點集，而單點集必定都是所給拓撲基的基元素，並以單點集形式出現，而這些單點集顯然是不可數的。所以具有離散拓撲的實數軸R儘管是可度量化的，但它卻沒有一組可數基。

利用X是正則的且有一組可數基的假定就可以證明，X能嵌入一個度量空間之中。因此，X與一個度量空間的子空間同胚。由於一個度量空間的子空間是可度量化的，又由於可度量性是一種拓撲性質，於是得出：X是可度量化的。

Z上的等差數列拓撲由所有形如 A_a,b={...,a-2b,a-b,a,a+b,a+2b,...} 的等差數列所組成的基來定義，其中a,b∈R.b≠0。

誘導Z上的度量

d(x,y)={\begin{cases}0\left({\text{若 }}\ x=y\right)\\\min \left\{{\frac {1}{n!}}\left\vert {\frac {n!}{\left\vert x-y\right\vert }}\right.\right\}\left({\text{若 }}\ x\neq y\right)\end{cases}}

某些度量化定理是烏雷松定理的簡單推論，例如，緊的郝斯多夫空間可度量化若且唯若其為第二可數。

烏雷松定理也可寫成以下形式：「一個拓撲空間為可分和可度量化，若且唯若其為正則、郝斯多夫，且為第二可數。」長田-斯米爾諾夫度量化定理（英語：Nagata–Smirnov metrization theorem）是對不可分空間的推廣。其斷言一個拓撲空間可度量化，若且唯若其為正則、郝斯多夫，且具有一組 σ-局部有限基。一組 σ-局部有限基是一組基，其為可數多個局部有限（英語：locally finite collection）開集族的並。相關的還有賓度量化定理（英語：Bing metrization theorem）。

若一個拓撲空間中，每點都有一個鄰域可度量化，則稱為局部可度量化。斯米爾諾夫證明了一個局部可度量化空間為可度量化若且唯若其為郝斯多夫及仿緊。具體地，一個流形可度量化，若且唯若其為仿緊。

^ Simon, Jonathan. Metrization Theorems (PDF). [16 June 2016]. （原始內容 (PDF)存檔於2017-02-02）.
^ Munkres, James. Topology (second edition). Pearson. 1999: 119.

（美）亞當斯（Adams, C.）等著；沈以淡等譯.《拓撲學基礎及應用》. 北京：機械工業出版社，2010-02. ISBN 978-7-111-28809-1.