自由积

在数学的群论中，自由积（英语：free product，法语：produit libre）是从两个以上的群构造出一个群的一种操作。两个群G和H的自由积，是一个新的群G ∗ H。这个群包含G和H为子群，由G和H的元素生成，并且是有以上性质的群之中“最一般”的。自由积一定是无限群，除非G和H其一是平凡群。自由积的构造方法和自由群（由给定的生成元集合所能构造出的最一般的群）相似。

自由积是群范畴中的余积。

建构方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘积：

s_{1}s_{2}\cdots s_{n},

其中s_i是G或H的元。这种字可以用以下的操作简化：

除去其中的（G或H的）单位元，
将其中的g₁g₂一对元素以其在G中的积代替，将其中的h₁h₂一对元素以其在H中的积代替。

每个简约字都是G的元素和H的元素交替的积，例如：

g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.

自由积G ∗ H的元素是以G和H形成的简约字，其上的运算是将两字接合后简化。

例如若G是无穷循环群<x>，H是无穷循环群<y>，则G ∗ H的元素是x的幂和y的幂交替的积。此时G ∗ H同构于以x和y生成的自由群。

设 $(G_{i})_{i\in I}$ 是群的一个族。用 $G_{i}$ 形成的字，也可以用上述操作简化为简约字。仿上可定义出 $G_{i}$ 的自由积 $*_{i\in I}G_{i}$ 。

展示

设

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle

是G的一个展示（S_G是生成元的集合，R_G是关系元的集合），又设

H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle

是H的一个展示。那么

G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其关系是G的关系元和H的关系元所组成。（两者都是不交并。）

性质

将 $G_{i_{0}}$ 自然地映射到 $*_{i\in I}G_{i}$ 的群同态是内射，故此这个群同态将 $G_{i_{0}}$ 嵌入到 $*_{i\in I}G_{i}$ 中为子群。

泛性质

自由积亦可由以下泛性质定义：设G是群， $(G_{i})_{i\in I}$ 是由群组成的一个族，有一族群同态 $(\phi _{i}\colon G_{i}\to G)_{i\in I}$ 。那么存在唯一的群同态 $\phi \colon *_{i\in I}G_{i}\to G$ ，使得对所有 $i_{0}\in I$ 都有