管状邻域
在数学中,一个光滑流形的子流形的管状邻域是它周围的一个开集,与法丛类似。
管状邻域的想法可以用一个简单的例子说明。考虑平面内一个没有自交的光滑曲线。在曲线的每一个点处作一条与这个曲线垂直的直线。这些直线之间会以一种很复杂的形式相交,除非这条曲线是直的。然而,如果只观察临近曲线的一个狭窄的条带,这些直线在条带内的部分不会相交,并会没有缝隙地覆盖这个条带。这个条带就是一个管状邻域。
一般地,令S为流形M的一个子流形,令N为在M上S的法丛。这里S扮演曲线的角色,M扮演包含曲线的空间的角色。考虑自然映射
建立起N的零截线N0与M的一个子流形S之间的双射关系。关于值在M中的全部法丛N的这个映射的一个外延j,使j(N)是M上的一个开集,并且j是N与j(N)的一个同胚,称作管状邻域。
法向管
一个光滑曲线的法向管是由一些圆盘的并定义的流形,使得
- 所有的圆盘有相同的固定半径
- 圆盘的中心都落在曲线上
- 每个圆盘都落在曲线的法平面上
正式定义
令 光滑流形。 在 中的管状邻域是一个向量丛 伴随一个光滑映射 使得
- , 其中 是嵌入, 是零截面
- 存在某个 和某个 以及 和 使得 是一个微分同胚。
一般化
一般而言,光滑流形可以生成广义管状邻域,比如正规邻域,或者庞加莱空间的球面纤维化。
这些一般化常被用于构造(稳定)法丛的对应物,在没有直接描述的空间中作为切丛的替代。