波形因数

波形因数（英文：Form factor）是交流讯号中的一个無量纲量，可以用$k_{f}$来表示，是讯号的均方根值和整流平均值的比值。波形因数是相同功率的直流讯号和原交流讯号整流后平均值的比值。

计算

对于一个理想的，对时间T连续的函数，其均方根可以表示为以下的积分：

$X_{rms}={\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}$

而整流平均值为函数绝对值的平均：

$X_{arv}={1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}$

两者的比值即为波形因数$k_{f}$。

$k_{f}={\frac {RMS}{ARV}}={\frac {\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}{{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}={\frac {\sqrt {T\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{{[f(t)]}^{2}\,dt}}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}$

应用

数位式的交流量测设备一般是针对弦波而设计的，例如许多交流电表会特别针对弦波的均方根值来进行调整。由于很难利用数位方式计算一讯号的均方根值，一般会改为计算弦波讯号的整流平均值，然后再乘以弦波的波形因数。不过若利用此方法计算其他波形的均方根值，会得到较不精确的结果。

性质

波形因数是讯号的均方根值和整流平均值的比值，因此二个值之间类似及不同的性质决定了波形因数的性质。

例如均方根值和整流平均值都和振幅$a$成正比，不过波形因数是二者相除，因此不受振幅的影响。一个特定的波形，若不失真的放大或缩小N倍，其波形因数不变。

均方根值计算时会用到讯号的平方，而整流平均值会用到讯号的绝对值，二者都不受正负号的影响。因此波形因数也不受正负号的影响，一个平均值为零的方波和其整流后的讯号，其波形因数相等。

波形因数是讯号的均方根值和整流平均值的比值，此外还有二个类似定义的因数：

• 峰值因数：$k_{a}={\frac {X_{max}}{X_{rms}}}$，最大值和均方根值的比值。
• 平均因数：$k_{av}={\frac {X_{max}}{X_{arv}}}$，最大值和整流平均值的比值，较少用到。

波形因数是三个因数中最小的一个：

$k_{av}\geq k_{a}\geq k_{f}$

由于他们的定义都和最大值、均方根值和整流平均值有关，三个因数间有以下的关系：

$k_{av}=k_{a}k_{f}$,

因此也可以用峰值因数和平均因数来表示波形因数：

$k_{f}={\frac {k_{av}}{k_{a}}}$.

特定波形的波形因数

若用$a$表示波形的振幅，由于均方根值和整流平均值都和振幅成正比，二者对波形因数的影响恰好互相抵消，因此波形因数和振幅无关。像$8sin(t)$和$sin(t)$的波形因数相等，因此可以用正规化，振幅为1的波形来计算波形因数。

波形	波形图	RMS	ARV	波形因数
弦波		${\frac {a}{\sqrt {2}}}$	$a{\frac {2}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1.11072073$
半波整流的弦波		${\frac {a}{2}}$	${\frac {a}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2}}\approx 1.5707963$
全波整流的弦波		${\frac {a}{\sqrt {2}}}$	$a{\frac {2}{\pi }}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$
方波（占空比50%）		$a$	$a$	${\frac {a}{a}}=1$
脉波		$a{\sqrt {D}}$	$aD$	${\frac {1}{\sqrt {D}}}={\sqrt {\frac {T}{\tau }}}$
三角波		${\frac {a}{\sqrt {3}}}$	${\frac {a}{2}}$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1.15470054$
锯齿波		${\frac {a}{\sqrt {3}}}$	${\frac {a}{2}}$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}$
白噪声 U(-1,1)		${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}$

相关条目

• 峰值因数
• 整流平均值

外部链接

• RMS Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）