平凡 (数学)

数学中，术语平凡或平凡的（英语：trivial）经常用于描述结构非常简单的对象（比如群或拓扑空间）。有时亦会用明显或乏趣这两个词代替，但对非数学工作者来说，它们有时可能比其他更复杂的对象更难想象或理解。

平凡解

平凡也用于一个方程具有非常简单结构的解，但是为了完整性不能省略。这种解称为平凡解。例如，考虑微分方程

$y'=y$

这里 $y=y(x)$ 为一个函数， $y'={\frac {dy}{dx}}(x)$ 为其导数。

0 函数 $y(x)=0$ 是一个平凡解；

指数函数 $y(x)=e^{x}$ 是一个非平凡解。

类似地，数学家经常将费马大定理描述为方程 $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ 对 $n>2$ 没有非平凡解。

这个方程对任意 $n$ 都有解，如 $(a,b,c)=(0,0,0)$ 以及 $(a,b,c)=(1,0,1)$ 。但是这种解是显然而无趣的，从而称为平凡。

数学推理

平凡也经常指证明中容易的情形，为了完整性而不能省略。比如，数学归纳法证明分为两部分：“奠基步骤”是对一个特殊起始值比如 n = 0 或 n = 1 证明定理；然后归纳步骤证明如果定理对特定值 n 成立，那么对 n+1 也成立。奠基情形经常是显然的。（但是，也有归纳步骤是平凡的而奠基情形却困难的例子。关于多项式的定理经常是这种类型，证明对变元的个数用归纳法。证明如果系数环 A 是唯一分解整环那么 A[X₁,...,X_n] 是唯一分解整环，归纳步骤只要简单的写成 A[X₁,...,X_n] = A[X₁,...,X_n-1][X_n]，而一个变元的奠基情形是困难的。）类似地，我们可能想证明某种性质对一个集合中所有元素都成立。证明的主要考虑非空集合，详细检验其元素是否具有该性质；但如果集合是空集，则性质对其所有元素都成立，因为没有元素需要检验。（参见空洞的事实）

数学界一个常见的笑话是说“平凡”和“已被证明”是同义词——这就是说，任何定理如果已知成立就可以认为是“平凡”的。另一个笑话是关于两个数学家讨论一个定理。第一个数学家说某个定理是“平凡的”。另一个要求一个解释，然后他进行了 20 分钟的解说。解说完了之后，第二个数学家同意这个定理是平凡的。这个笑话指出对平凡性判断的主观性。举个例子，对微积分熟练的人，会认为这个定理

$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx=1/3$

是平凡的。但对初学者来说，可能一点也不显然。

值得注意的是，平凡性也取决于语境。泛函分析中的证明可能会给出一个数，平凡地假设存在这样的大数。在初等数论中证明自然数的基本结论时，证明也许会与“每个自然数都有一个后继”息息相关，但此点需加以证明，或者将其作为一个公理。

例子

• 平凡因数：对于每个正整数 $n$ ， $1$ 、 $-1$ 、 $n$ 和 $-n$ 都是它的因数，因此又称为平凡因数。
• 空集：不包含任何元素的集合；
• 平凡群：只含单位元的群；
• 平凡拓扑：仅有空集和整个空间作为开集的拓扑空间。
• 平凡环：定义于单元素集合的环。

相关条目

• 退化 (数学)
• 始对象和终对象
• 病态 (数学)
• 琐碎论

外部链接

• Trivial entry at MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）