天使问题

天使问题是由英国数学家约翰·何顿·康威提出的一个博弈论问题，在2006年已获解答。

图中棋盘区域中央为天使，当天使力量为 3 时，其当前可移动区域被蓝色点画线围起

陈述

天使问题是关于一个叫天使与恶魔的双人游戏，其规则如下：

1. 两名玩家分别扮演天使和恶魔
2. 游戏开始前，指定一个正整数 K，称之为天使的力量
3. 游戏在一个无限大的方格棋盘上进行；开始时棋盘是空的，天使停留在棋盘上的某一个方格（称为天使的起始点），恶魔并不存在于棋盘上
4. 每一轮中，恶魔可以在棋盘上放置一个路障，路障不可以放置在天使停留处
5. 每一轮中，天使可以向相邻格移动至多 K 步，移动过程中可以穿过路障，但移动终点必须停留在没有路障的格中；纵横斜格均算作相邻格
6. 从恶魔开始，双方交替进行（若从天使开始，从上面的规则描述，亦可等价转换为从恶魔开始的局面）
7. 若在一轮中，天使无法移动，则恶魔获胜
8. 如果天使能够无限地继续游戏，则天使获胜

天使问题可以陈述为：

是否存在某个K，使得力量为K的天使拥有必胜策略？

已知的证明

二维

• K = 1 时，恶魔有必胜策略（康威, 1982）
• 如果天使不可以降低其 y 坐标，则恶魔有必胜策略（康威, 1982）
• 如果天使一直增加它到起始点的距离，则恶魔有必胜策略（康威, 1996）

在2006年，有4位数学家独立解决了天使问题。英国数学家布莱恩·鲍迪奇（Brian Bowditch） 证明了K = 4的时候，天使有必胜策略。 挪威数学家Oddvar Kloster 和 András Máthé 各自证明了K = 2的时候，天使有必胜策略。Péter Gács 则是证明了当 K 充分大时，天使有必胜策略。

外部链接

• Oddvar Kloster 就天使问题所设的网页