基 (拓扑学)

拓扑学的相关领域中,拓扑基(英语:base 或 basis) 是某种特殊集合族,它们的任意并集构成了一个拓扑结构。基在拓扑学的作用是简化证明,许多拓扑的性质可变换成基的性质,像是拓扑意义下的连续就可以直接对基来做定义。

动机

拓扑基的动机是想定义一群特殊的子集,它们的任意并集都是“”的;严谨来说,令  集合   的一个子集族,希望   内任意一群子集之并集所组成的  

 

  上的拓扑

定理 — 
集合  子集族   , 设 :

 

则“    上的拓扑 ”,等价于以下两条件:

  •  
  • 对所有   
证明

以下逐条检验拓扑的定义:

(1) 等价于“  ”的条件

  ,则:

 (a)

考虑到   ,所以根据有无限并集性质的定理(1)与(2)有

 

但根据无限并集性质的定理(1),(a)又等价于:

 

所以有:

 

所以从   有:

  (a1)

反之若有 (a1),因为   ,所以有   。故在本定理的前提下,(a1)等价于  

(2)  

首先考虑到  ,然后从无限并集性质的定理(0)有  ,故  

(3) 对任意   

首先,  可等价地展开为

 (b)

上式可直观地解释成“   都是   内某些集合的并集”,既然如此,取一个搜集各种不同  子集的集族  

 

这样根据有限交集的性质,  等价于

 

考虑到一阶逻辑的定理(Ce),将  移至最前,再将 移入括弧内 ,上式就依据(Equv)而等价于

 

也就等价于

 

根据无限并集性质的定理(4),从(b)有

 

这样根据无限并集性质的定理(1)又会有

 

考虑到   ,从无限并集性质的定理(1)与定理(2)有

 

所以最后从(b)有

 

所以   最后等价于

 

换句话说

 

这样考虑到   就有

 

所以在本定理的前提下, 对所有   都有  

(4)等价于“   ”的条件

“对所有的   ”(P)

因取任意   都有:

 
 

  ,换句话说从假设(P)可以推出:

“对所有   ”(P')

另一方面,   可等价地展开为:

 

因为   可等价地展开为:

 
 

所以在   的前提下   又可更进一步等价地展开为:

 

此时考虑到一阶逻辑的定理(Ce),连续使用两次会有:

 

这样的话,若取一个包含所有   的集族:

 

这样就有:

 

而且考虑到    ,所以在(P')的前提下,所有的   都在   里,换句话说,  ,故从上小结的结果有:

 

所以,(P')跟(P)等价

综合上面的(a1)、(a2)、和(P'),本定理得证。 

一般会根据无限并集性质的定理(4),将第二个条件等价的写为:

“对所有   

也就等价于:

“所有的   ,对任意   都存在   使得  

定义

由上面动机一节的定理,可以作如下的定义:

定义 — 
 集合   的一个子集族,若满足:

  •   (基的元素覆盖 
  • 所有的   ,对任意   都存在   使得  

则称    的一个拓扑基(Topological Basis)。而:

 

则称为由基   所生成的拓扑

范例

以所有实数线中的开区间为元素所构成的集合是拓扑基,因为:

  • 任意实数   都包含在某个开区间里,如   。故开区间全体“覆盖”了整条实数线。
  • 任何两个开区间的交集要么也是开区间要么为空。
  • 对任意开区间   内的实数   ,都有一个比   更小的开区间也包含   ,如  

这些性质正好满足拓扑基的定义。

更一般的来说,以度量空间开球为元素所构成的集合是拓扑基,因为:

  • 度量空间的任意点都可作为开球的球心,故开球全体“覆盖”了整个度量空间。
  • 取任二开球  ,若 ,且  ,则 

重要性质

定理 — 
 集合   的拓扑基,则   生成的拓扑是包含  最粗拓扑

证明
  所生成的拓扑是   ;另一方面包含  最粗拓扑 

根据最粗拓扑的定义有:

 (a)

那以量词公理(A4)  去掉会有:

 

那再使用量词公理(A4),配合(D1)会有:

 

因为    所生成的拓扑,配合(D2)有:(  为 “   的拓扑基”的正式叙述)

 

另一方面,根据拓扑基的定义有:

 

而根据拓扑的定义(关于并集的部分)与演绎定理会有:

 

这样根据(GEN)演绎定理就有:

 

换句话说,从演绎定理(D1)有:

 

那从普遍化元定理就有:

 

这样从(a),配合(AND)(D1)就有:

 

这样从(AND)演绎定理就有:

 

套用(GEN)  重新加入就会有:

 

故本定理得证。 

定理 — 
   都是集合   的拓扑基,而    生成的拓扑;    生成的拓扑,则以下两叙述价

  •  
  •  
证明
  • 如果 B1,B2,...,Bn 是拓扑 T1,T2,...,Tn 的基,则集合积 B1 × B2 × ... × Bn乘积拓扑 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在无限乘积的情况下这仍适用,除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。
  • BX 的基并设 YX子空间。那么如果我们交 B 的每个元素于 Y,结果的集合的搜集是子空间 Y 的基。

定理 — 
 集合  的拓扑基(其生成的拓扑为 );  为一拓扑空间 为一函数。若对任意  ,则  - 连续

证明
 ,根据基的定义,存在 使得:
 

这样的话,若取:

 

则有:

 
 

这样根据拓扑空间的定义就有:

 

  - 连续 

  • X 的子集的搜集是 X 上的拓扑当且仅当它生成自身。
  • B 是拓扑空间 X 的基,当且仅当 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基,对于 X 的任何点 x
  • 给定拓扑的一个基,要证明或序列的收敛,在包含假定极限的所有基中的集合中最终证明它就是充分的。

依据基定义的对象

闭集基

闭集同样擅长描述空间的拓扑。因为有对于拓扑空间的闭集的对偶的基的概念。给定一个拓扑空间 XX闭集基是闭集的集合族 F 使得任何闭集 AF 的元素的交集

等价的说,闭集族形成了闭集基,如果对于每个闭集 A 和每个不在 A 中的点 x,存在一个 F 的元素包含 A 但不包含 x

容易检查 FX 的闭集基,当且仅当 F 的成员的补集的集合族是 X 的开集基。

FX 的闭集基。则

  1. F = ∅
  2. 对于每个 F1F2F 中,并集 F1F2F 的某个子族的交集(就是说,对于任何不在 F1F2x,存在一个 F3F 包含 F1F2 并不包含 x)。

满足这些条件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓扑的闭集基。这个拓扑的闭集完全就是 F 的成员的交集。

在某些情况下,更习惯使用闭集基而非开集基。例如,一个空间是完全正规空间,当且仅当它的零集形成了闭集基。给定任何拓扑空间 X,零集形成在 X 上某个拓扑的闭集基。这个拓扑将是 X上比最初的要粗的最细的完全正规拓扑。在类似的脉络下,在 An 上的 Zariski拓扑被定义为选取多项式函数的零集作为闭集基。

准基

若拓扑空间 是最小的拓扑使得 的子集的集 都是 的开集,则称  的一个准基(subbasis/subbase)。另一等价的定义为,若 及其所有有限交集构成了拓扑空间 之基,则 准基

例子:

  • 实数线上,所有长度为1的开区间便是一个准基。

J.W. 亚历山大证明了:若每个准基覆盖都有一个有限个元素的子覆盖,则此空间是紧致的。

注释

参考文献

  • James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
  • Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.