基本子结构

在模型论，给定在同一个语言 $L$ 中的两个结构 $M$ 和 $N$，我们称 $M$ 是 $N$ 的基本子结构（英语：elementary substructure）如果

1. $M$ 是 $N$ 的子结构，且

2. 对于所有有限元组 $a\in M$，对于所有语言 $L$ 的公式 $\varphi (x)$，我们有 $M\models \varphi (a)$ 当且仅当 $N\models \varphi (a)$。

我们称 $N$ 是 $M$ 的基本扩展当且仅当 $M$ 是 $N$ 的基本子结构。

等价条件

有时对第二个条件使用一个等价的陈述。我们可以通过对所有 $m\in M$ 增加一个常量符号 $c_{m}\$ 来扩展 $L$ 为一个新语言 $L(M)$。那么 $M$ 和 $N$ 是解释每个 $c_{m}\$ 为 $m$ 的 $L(M)$ 的结构。

设 $\mathrm {Th} _{L(M)}(M)\$ 和 $\mathrm {Th} _{L(M)}(N)\$ 分别是在 $M$ 和 $N$ 中为真的 $L(M)$-句子的集合(称为它们的“基本图”)。那么上述条件 (2) 等价于陈述

$\mathrm {Th} _{L(M)}(M)=\mathrm {Th} _{L(M)}(N)\$.

塔斯基-沃特测试是给定一对 $M\subset N$，确定 $M$ 是否是 $N$ 的基本子结构的非常有用的必要和充分条件。