哈代-李特尔伍德极大函数

数学上，一个局部可积函数的哈代－李特尔伍德(Hardy–Littlewood)极大函数在一点的值，是所有以该点为中心的球上函数的平均值的上确界。

定义

对一个在$\mathbb {R} ^{n}$上定义的局部可积函数f，可定义其哈代－李特尔伍德极大函数Mf如下

$Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)$

（Mf(x)可能是$\infty$。） 其中m是$\mathbb {R} ^{n}$上的勒贝格测度。

性质

Mf(x)是下半连续函数。

证明

对任何$x\in \mathbb {R} ^{m}$，可假设Mf(x) > 0。（否则几乎处处f=0）

任意取0 < c < Mf(x)。从Mf定义知存在r > 0使得

$c_{1}:={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)>c$

存在$\delta >0$使得$(r/(r+\delta ))^{n}>c/c_{1}$。 对任何$x'\in B(x,\delta )$，有$B(x,r)\subset B(x',r+\delta )$ 所以

${\begin{aligned}&Mf(x')\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x',r+\delta )}|f(y)|dm(y)\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x',r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x,r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&>c_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}=c\end{aligned}}$

因此Mf是下半连续。

哈代－李特尔伍德极大不等式

设$f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n})$为可积函数，对任何常数$c>0$，有不等式

$m(\{Mf>c\})\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}$

证明

对每个在集合$\{Mf>c\}$内的点x，都有$r_{x}>0$，使得

${\frac {1}{m(B(x,r_{x}))}}\int _{B(x,r_{x})}|f(y)|dm(y)>c$

设K为$\{Mf>c\}$内的紧集。开球$(B(x,r_{x}))_{x\in K}$是K的一个开覆盖。因K紧致，存在有限子覆盖$(B(x_{i},r_{i}))_{i=1}^{N}$。（$r_{i}:=r_{x_{i}}$）

用维塔利覆盖引理，这有限子覆盖中存在子集$(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))_{i_{j}}$，当中的开球两两不交，而且将这些开球的半径增至三倍后$B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}})$可以覆盖K。于是

${\begin{aligned}m(K)&\leq \sum _{i_{j}}m(B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}}))\\&=\sum _{i_{j}}3^{n}m(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))\\&<\sum _{i_{j}}{\frac {3^{n}}{c}}\int _{B(x_{i_{j}},r_{i_{j}})}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}}{c}}\int _{K}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}\end{aligned}}$

上式第四行的不等式使用了开球两两不交性质。从勒贝格测度的内正则性，集合$\{Mf>c\}$的测度等于在其内的所有紧集的测度的上确界，故有

$m(\{Mf>c\})=\sup _{K}m(K)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}$

应用

哈代－李特尔伍德极大不等式可以用来证明勒贝格微分定理。

参考

• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.