可分扩张

可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张 $L/K$ 满足：任何一个 $L$ 中元素在基域 $K$ 上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域 $\mathbb {Q}$ ）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

简介

域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域 $K$ 并固定其某个代数闭包 $K alg$ ，所有 $K-$ 多项式 $f$ （即以 $K$ 中元素为系数的多项式）都在 $K alg$ 中有根，即存在 $r f$ ，使得 $f (r f) =$ 0。考虑集合 $Z_{f}=\{r\in K^{\mathrm {alg} };\;f(r)=0\}$ 。 $Z f$ 包含了 $f$ 所有的相异的根，它的元素个数不会超过多项式 $f$ 的次数，但也不总等于多项式 $f$ 的次数。例如有理数系数的三次多项式 $X^{3}-X$ 有三个不同的根：1、0和-1，相异根的个数等于多项式次数。但同样是三次多项式 $X(X-1)^{2}$ 就只有两个根：0和1。

尽管随着代数闭包 $K alg$ 变化，多项式 $f$ 的根的形式可以不一样，但多项式相异根的个数是它的内禀属性。这个属性对应着域扩张理论中的可分扩张与不可分扩张。

多项式的重根与可分多项式

给定域扩张 $L/K$ 以及 $K-$ 多项式 $f$ 。如果某个 $L$ 中元素 $α$ 是 $f$ 的根，那么 $f$ 可以分解为两个 $L-$ 多项式的乘积：

f=(X-\alpha )g

.

其中 $g$ 是一个次数比 $f$ 少1的多项式。如果 $α$ 也是 $g$ 的根，那么 $α$ 就被称作是多项式 $f$ 的重根。有重根的多项式，相异根的个数必然严格小于它的次数。这样的多项式称为不可分多项式。反之称为可分多项式。

在 $f$ 的分裂域中，可以更清楚的看到重根。给定 $f$ 的分裂域 $F/K$ 后，由于 $f$ 在 $F$ 中可以完全分解为一次因式的乘积：

f=\kappa (X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{k}),\;\kappa \in K,\;\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{k}\in F

.

因此可以看出是否有两个根相同。

尽管 $f$ 的根常常在扩域中，但“ $f$ 是否有重根”的判断可以直接在 $K$ 中进行。考虑 $f$ 的形式导数多项式 $D(f)$ 。如果 $f$ 和 $D(f)$ 互素，则 $f$ 没有重根。否则， $f$ 和 $D(f)$ 的公因子就是由 $f$ 的重根组成的多项式。互素的具体判别方式为：

如果存在

K-

多项式

p

和

q

，使得

pf + q D(f) =

1，则

f

和

D(f)

互素。

定义

一个代数扩张 $L/K$ 是可分扩张，当且仅当对 $L$ 中任一给定元素 $α$ ， $α$ 在 $K$ 上的极小多项式没有重根。

可分元素与可分次数

给定一个域扩张 $L/K$ ，如果 $L$ 中某个元素 $α$ 在 $K$ 上的极小多项式没有重根，就称它为 $K$ 上的可分元素。显然所有 $K$ 中元素都是 $K$ 上的可分元素。所有可分元素构成一个域，记作 $L s$ 是域扩张 $L/K$ 的中间域。子扩张 $L s /K$ 的次数 $[L s : K]$ 称为 $L/K$ 的可分次数，记作 $[L : K] s$ 。如果 $L s = L$ ，则 $L/K$ 是可分扩张。

当 $L/K$ 是有限扩张时，可以定义不可分次数 $[L : K]i := .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}[L : K]/[L : K]s$ 。 $L/K$ 是可分扩张等价于说不可分次数等于1。

性质

如果 $L/F$ 、 $F/K$ 都是代数扩张，那 $L/K$ 是可分扩张当且仅当 $L/F$ 和 $F/K$ 都是可分扩张。
假设 $L/K$ 是可分扩张， $M/K$ 是任意扩张，并且 $LM$ 存在，那么 $LM/K$ 也是可分扩张。
由以上两个性质可以推出，对于任何域 $K$ ，在它的代数闭包 $K alg$ 里，所有在 $K$ 上可分的元素可以构成一个域。称这个域为 $K$ 的可分闭包，记作 $K sep$ 。
如果 $L/K$ 是有限可分扩张，那 $L/K$ 之间只存在有限多个中间域，由本原元定理得出， $L/K$ 存在本原元，即存在 $\alpha \in L$ 使得 $L=K(\alpha )$ 。

参见

参考文献

Serge Lang. Algebra. Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.