几何学
几何学（英语：Geometry，古希腊语：γεωμετρία）简称几何。几何学是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量。
许多文化中都有几何学的发展，包括许多有关长度、面积及体积的知识，在公元前六世纪泰勒斯的时代，西方世界开始将几何学视为数学的一部分。公元前三世纪，几何学中加入欧几里德的公理，产生的欧几里得几何是往后几个世纪的几何学标准[1]。阿基米德发展了计算面积及体积的方法，许多都用到积分的概念。天文学中有关恒星和行星在天球上的相对位置，以及其相对运动的关系，都是后续一千五百年中探讨的主题。几何和天文都列在西方博雅教育中的四术中，是中古世纪西方大学教授的内容之一。
勒内·笛卡儿发明的坐标系以及当时代数的发展让几何学进入新的阶段，像平面曲线等几何图形可以由函数或是方程等解析的方式表示。这对于十七世纪微积分的引入有重要的影响。透视投影的理论让人们知道，几何学不只是物体的度量属性而已，透视投影后来衍生出射影几何。欧拉及高斯开始有关几何物件本体性质的研究，使几何的主题继续扩充，最后产生了拓扑学及微分几何。
在欧几里德的时代，实际空间和几何空间之间没有明显的区别，但自从十九世纪发现非欧几何后，空间的概念有了大幅的调整，也开始出现哪一种几何空间最符合实际空间的问题。在二十世纪形式数学兴起以后，空间（包括点、线、面）已没有其直观的概念在内。今日需要区分实体空间、几何空间（点、线、面仍没有其直观的概念在内）以及抽象空间。当代的几何学考虑流形，空间的概念比欧几里德中的更加抽象，两者只在极小尺寸下才彼此近似。这些空间可以加入额外的结构，因此可以考虑其长度。近代的几何学和物理关系密切，就像伪黎曼流形和广义相对论的关系一样。物理理论中最年轻的弦理论也和几何学有密切关系。
几何学可见的特性让它比代数、数论等数学领域更容易让人接触，不过一些几何语言已经和原来传统的、欧几里得几何下的定义越差越远，例如碎形几何及解析几何等[2]。
现代概念上的几何其抽象程度和一般化程度大幅提高，并与分析、抽象代数和拓扑学紧密结合。
几何学应用于许多领域，包括艺术，建筑，物理和其他数学领域。
简史
几何一词源于《几何原本》的翻译。《几何原本》是世界数学史上影响最为久远，最大的一部数学教科书。《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献是确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”（英文geometry），徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”（明朝音：gi-ho），而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”（英文geometry），音义兼顾，确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡到汉字文化圈的日本、朝鲜等国（越南语则使用独自翻译的越制汉语“形學（hình học）”一词），影响深远。
几何学开始的最早记录可以追踪到公元前2世纪的古代埃及和美索不达米亚。[3][4]早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工业）而发展的。最早的已知有关几何学的文本是埃及的莱因德纸草书（公元前2000-1800年）和莫斯科数学纸草书（约公元前1890年），以及古巴比伦的泥石板（比如“普林顿 322”（公元前1900年）)。比如，莫斯科纸草书上给出了如何计算棱台体积的公式。[5]埃及南部的古代努比亚人曾经建立了一套几何学系统，包括有太阳钟的早期版本。[6][7]
几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，《几何原本》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。
一千年后，笛卡儿在《方法论》的附录《几何》中，将坐标引入几何，带来革命性进步。从此几何问题能以解析式的形式来表达。
欧几里得几何学的第五公设，由于并不自明，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何[8]。
几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。
古代几何学
几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及（参看古埃及数学），古印度（参看古印度数学），和古巴比伦（参看古巴比伦数学），其年代大约始于前3000年。早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。在它们中间，有令人惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很难不用微积分来推导它们。例如，埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）的体积的正确公式；而巴比伦有一个三角函数表。
名称的由来
几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρεĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。用“几何”的音来表达，关于数与量的，用“几何”的义来表达。换句话说，徐光启心目中的“几何”，可能就是今天我们所谓的“数学”。所以他为译本所取的名字，以今日用语再翻译一次，就是：《基础数学》。所以如果了解《几何原本》为《基础数学》，它当然会包含像辗转相除法这样的课题。希腊语GEO+METRY按照字源意思是“地理测算”的意思，所以依照字面意思对照现代分类相当于测算学，分平面测算学与立体测算学。
1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名——“形学”，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一词的使用出现。
分类
实务几何学
几何学起源于一些实务上有关量测、面积及体积的科学。在许多方面都已找到相当的公式，例如毕氏定理、圆的周长及面积、三角形的面积、圆柱、球及四角锥的体积等。泰勒斯发展了以几何物件的相似为基础，计算一些无法直接量测的高度或距离的方法。天文学的发展也带来三角学及球面三角学的诞生，也有一些对应的计算技巧。
公理化几何学
欧几里德在所著的《几何原本》中作了更抽象化的处理。欧几里德引入了一些公理来说明点、线和面一些基本的或是可自证的性质。接着再用数学的思考再去推导其他的性质。几何原本中的推导以其严谨性著称，称为公理化几何。在十九世纪初时，尼古拉·罗巴切夫斯基（1792–1856）、鲍耶·亚诺什（1802–1860）及卡尔·弗里德里希·高斯（1777–1855）发展了非欧几何，其他数学家开始再度对此一领域有兴趣。二十世纪的大卫·希尔伯特试图用公理化的理解为几何学提供现代的基础。
几何建构
古典的几何学家花了许多心力要绘制定理中绘述的几何物件。传统上，可以使用的工具是圆规及没有刻度的直尺，需要在有限次数的绘制内完成图形。有些图形很难（甚至无法）单纯用尺规作图求得，需要配合抛物线、其他曲线或是机械工具才能完成。
几何中的数
古希腊的毕达格拉斯就已考虑过数字在几何中的角色。不过因为不可通约长度的出现，不符合他的哲学观点，因此他们放弃抽象的几何量，改用实际上的几何量，例如图案的长及面积。后来勒内·笛卡儿利用坐标系再让数字和几何连结，笛卡儿也发现根据一图示的代数表现可以知道此形状，后来笛卡儿用的坐标系就称为笛卡儿坐标系。
几何学中重要的概念
公理
欧几里得所提出的抽象概念，进而使得《几何原本》列入了最有影响力的书籍之一，欧几里得提出五大公理和公设，揭示了点线面的自可证的基本性质，他一直试图通过其他数学理论来严谨性推导其他性质，而这也是欧几里得陈述的最特色的地方，并使得几何更加公理化和系统化。19世纪初，尼古拉·罗巴切夫斯基 (1792–1856), 鲍耶·亚诺什 (1802–1860), 卡尔·弗里德里希·高斯 (1777–1855)对非欧几里得几何的探索使得几何学领域又得以重新发展，而在20世纪初，大卫希尔伯特把公理性证明的引入成就了现代几何学的出现。
点
点作为欧几里得空间的基本构成，通过很多方式定义，包括欧几里得所定义的“点不占据空间[9]”以及在代数与嵌套空间的引用[10]。在几何学的众多领域，包括分析几何，微分几何，以及拓扑学，所有的单元都是点构造出来的，然而，有些几何学的研究缺乏对点这个元素的参照。[11]
线
欧几里得把线形容成‘在点之间均匀铺着’的‘没有宽度的长度’[9]，在现代数学体系已给知的多元几何中，线的定义也相当的接近几何学中的定义，例如在解析几何中，点坐标的集合所构成的一个已知一次方程称为线，[12]而在像重合几何这种更抽象的设定中，线可以是个单独的对象，而区别于点的集合所构成的情况[13]。在微分几何中，对曲率不为0的流形，测地线往往更好能表达线的概念。 [14]
平面
二维，光滑且无限延展的平层构成了平面，[9]几何学到处都会用到面，例如，研究拓扑学的曲面对象可以看作一个没有距离和角度做参照的平层[15]；对在仿射空间的面，没有参照距离却有共线性和曲率的研究[16]。或是在高斯平面（复平面）需要用到复分析[17]等。
角
欧几里得所描述的平面角，是指在一个平面内两条相交却不平行的直线中间的倾角[9] 在现代几何学名词中，共有一个顶点的两条射线形成角的两边，而所形成的角度称为角。 [18]
在欧几里得几何中，角一般用来研究多边形或三角形，也有对其本身的研究[9]对三角形或单位圆中对角的研究构成了三角学的基础[19]。
当代的几何学
欧几里德几何
欧几里德几何和计算几何、计算机图形、凸几何、关联几何、有限几何学、离散几何学，以及组合数学中的部分领域都有密切关系。欧几里德几何和欧几里德群在晶体学上的进展和哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特的研究已受到注意，可以在考克斯特群及多胞形的理论中看到。几何群论是将几何学延伸到离散群中，有关其几何结构及代数技术的研究。
微分几何
微分几何因着爱因斯坦的广义相对论假设有曲率的宇宙，因此逐渐受到数学物理的重视。现代的微分几何是本质性的，将空间视为是微分流形，其几何结构则由黎曼流形处理，包括如何量测二点之间的距离等。不再只是欧几里德几何中先验的一部分。
拓扑学和几何学
拓扑学是转换几何中的一部分，专注在同胚的转换，拓扑学在二十世纪有显著的进展，简单来说，拓扑学可以说是“橡皮下的几何学”。当代的几何拓扑学、微分拓扑，以及像莫尔斯理论等子领域，被大部分数学家视为是几何学的一部分。代数拓扑和点集拓扑学则被视为是另一个新的领域。
解析几何
解析几何是欧几里德几何的现代版本，从1950年代末到1970年代中有大幅的进展，主要是因为让-皮埃尔·塞尔及亚历山大·格罗森迪克的贡献，这也产生了概形以及代数拓扑学一些方法的重视，包括许多的上同调理论。千禧年大奖难题中的霍奇猜想就是解析几何学的问题。
低维度代数簇、代数曲线及代数曲面的研究以及三维代数簇（algebraic threefolds）的研究都有很多进展。Gröbner基理论及实代数几何应用在现在解析几何的一些子领域中。算术几何（Arithmetic geometry）是结合了解析几何及数论的一个新的领域。另外一个研究方向是模空间及复几何。代数几何的方法广泛的用在弦理论及膜宇宙理论中。
分支学科
相关条目
其他领域
参考文献
- ^ Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). "Fractal geometry in digital imaging （页面存档备份，存于互联网档案馆）". Academic Press. p. 1. ISBN 978-0-12-703970-1
- ^ 在代数几何中常提到有限体上代数簇的几何，也许是奇点。某一方面来看，这些只是有限个点产生的集合，但配合几何的想像及已充分发展的几何工具，可以找到一些结构，并设定性质，让它们可以类比一般空间的圆球及圆锥
- ^ J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
- ^ Neugebauer, Otto. The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. 1969 [1957]. ISBN 978-0-486-22332-2. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
- ^ Boyer(1991), "Egypt" p. 19
- ^ The Journal of Egyptian Archaeology. Vol. 84, 1998 Gnomons at Meroë and Early Trigonometry. pg. 171
- ^ Neolithic Skywatchers. May 27, 1998 by Andrew L. Slayman Archaeology.org. [2012-09-09]. （原始内容存档于2011-06-05）.
- ^ 自然科學概論. 五南图书出版股份有限公司. 1996: 246– [27 September 2014]. ISBN 978-957-11-1185-8.
- ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
- ^ Clark, Bowman L. Individuals and Points. Notre Dame Journal of Formal Logic. Jan 1985, 26 (1): 61–75 [29 August 2016]. doi:10.1305/ndjfl/1093870761. （原始内容存档于2017-09-09）.
- ^ Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries （页面存档备份，存于互联网档案馆）" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
- ^ John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from 互联网档案馆.
- ^ Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
- ^ geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary. OxfordDictionaries.com. [2016-01-20]. （原始内容存档于2016-07-15）.
- ^ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
- ^ Szmielew, Wanda. 'From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach.' Springer, 1983.
- ^ Ahlfors, Lars V. "Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable." 'New York, London' (1953).
- ^ Sidorov, L.A., Angle, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^ Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, and Mark Saul. "Trigonometry." 'Trigonometry'. Birkhäuser Boston, 2001. 1-20.
- ^ 詹姆斯·史都华 (数学家) (2012). Calculus: Early Transcendentals, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9
- ^ Jost, Jürgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2
- 《世界数学史简编》，梁宗巨，1981年，辽宁人民出版社，第90页~第92页
- 卡尔·本杰明·波耶（Carl Benjamin Boyer） A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 978-0-471-09763-1 (1991 pbk ed. ISBN 978-0-471-54397-8).