伪多边形
在几何学中，伪多边形（英语：pseudogon）又称为超无限边形，是一种位于双曲平面上的无限边形，具有伪多边形群（pseudogonal group）的对称性，诺曼·约翰逊将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形，其外接圆为极限圆，正伪多边形在施莱夫利符号中用{iπ/λ}表示，其中λ表示发散垂直镜射的周期距离[1]，用来表示其拓扑结构具有比无限边形更多的边与顶点，换句话说，若其不为发散镜射形式则只能看做为普通的无限边形，也因此伪多边形无法在平面上存在。此外，伪多边形也可以解释为未完全具备多边形性质的多边形[2]，此种情况下未必需要位于双曲面，这种伪多边形其英文也可以写为pseudo polygon[3][4]。
| 伪多边形 超无限边形 | |
|---|---|
 伪多边形（Pseudogon） 双曲正无限边形 双曲面上的伪多边形。 | |
| 类型 | 正多边形 二维双曲镶嵌 |
| 对偶 | 自身对偶 |
| 边 | iπ/λ ∞ |
| 顶点 | iπ/λ ∞ |
| 施莱夫利符号 | {iπ/λ} {∞} |
| 考克斯特符号 |    |
| 对称群 | [iπ/λ] |
| 内角（度） | 双曲平角 |
| 特性 | 非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 双曲线, 发散 |
正伪多边形
正伪多边形（英语：regular pseudogon）又称双曲正无限边形，是双曲线H1（并非欧几里得线）分割为每段长度为2λ线段形成的无限边形，为具有[iπ/λ]考克斯特群的罗氏无限边形，可以视为正无限边形的一种类似物。[5]依据其考克斯特群，其边数和顶点数将会是iπ/λ个，事实上它顶点数为正无穷大，边长为2λ，其中iπ/λ用来表示超平形（ultraparallel）的镜射，虚数值使镜射变换的角度以一个双曲线的形式，而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ)，而λ∈{ π/n | n∈Z }。
扭歪伪多边形
扭歪伪多边形（英语：Skew pseudogon）是伪多边形对应的扭歪多边形，即位于非紧双曲空间的双曲扭歪无限边形。
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| 围绕着伪多边形的三角形也可以构造出等边扭歪伪多边形 |
| {3,7}的皮特里多边形 | t{3,7}的皮特里多边形 |
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 正扭歪 |
 半正扭歪 |
镶嵌与密铺
正伪多边形不能构成平面镶嵌，但可以构成双曲镶嵌，如三阶伪多边形镶嵌，其考克斯特记号计为
。该镶嵌可以视为伪多边形在三维空间的类比，称为伪多面体（pseudohedron）。
二个伪多边形即可完全镶嵌整个双曲平面，称为二阶伪多边形镶嵌。
| 正 | 半正 | ||
|---|---|---|---|
| ∞.∞ | 2∞ | 4.4.∞ | 3.3.3.∞ |
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{iπ/λ, 2} 
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{2, iπ/λ}
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t{2, iπ/λ}
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sr{2, iπ/λ} 
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| 对称群：[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2) | [iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2) | ||||||
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| {9i,9i} 超无限阶 伪多边形镶嵌 |
t{9i,9i} 截角超无限阶 伪多边形镶嵌 |
r{9i,9i} 截半超无限阶 伪多边形镶嵌 |
2t{9i,9i}=t{9i,9i} 截角超无限阶 伪多边形镶嵌 |
2r{9i,9i}={9i,9i} 超无限阶 伪多边形镶嵌 |
rr{9i,9i} 小斜方截半 超无限阶 伪多边形镶嵌 |
tr{9i,9i} 大斜方截半 超无限阶 伪多边形镶嵌 |
sr{9i,9i} 扭棱超无限阶 伪多边形镶嵌 |
| 对称群：[iπ/λ,3], (*∞32) | [iπ/λ,3]+ (∞32) |
[1+,iπ/λ,3] (*∞33) |
[iπ/λ,3+] (3*∞) | ||||||||
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| 考克斯特记号 |
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 =  
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=
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= 
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= or 
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= or
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= 
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| 图像 | 
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| 顶点图 | ∞.∞.∞ | 3.∞.∞ | 3.∞.3.∞ | ∞.6.6 | 3∞ | 3.4.∞.4 | 4.6.∞ | 3.3.3.3.∞ | 3.∞.3.∞.3.∞ | ||
| 类比 | {∞,3} | t{∞,3} | r{∞,3} | t{3,∞} | {3,∞} | rr{∞,3} | tr{∞,3} | sr{∞,3} | h{∞,3} | h2{∞,3} | s{3,∞} |
| 半正对偶 | |||||||||||
| 考克斯特记号 | 
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| 图像 |
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| 顶点布局 类比 |
V∞3 | V3.∞.∞ | V(3.∞)2 | V6.6.∞ | V3∞ | V4.3.4.∞ | V4.6.∞ | V3.3.3.3.∞ | V(3.∞)3 | V3.3.3.3.3.∞ | |
高维类比
伪多面体（pseudohedron）是伪多边形在三维空间的类比，即在三维非紧双曲空间中的无限面体，又称为超无限面体。例如三阶七边形镶嵌蜂巢体中的正七边形镶嵌，由于要使每个顶点都是3个正七边形镶嵌的公共顶点使得图形被变换到非紧双曲空间中，即几何中心跑到庞加莱模型外，其外接球为三维双曲极限球。
伪多胞体（pseudotope）则为非紧双曲镶嵌在四维或更高维度类比，例如四阶一百二十胞体堆砌[8]。
但严格来说，伪多胞形（pseudotope）只会在二维双曲空间讨论，由于二维的考克斯特群表达到无穷之后仍为平面，因此只能用双曲镜射的方式以虚数表达双曲几何图形。
| 群 | 赫尔曼莫金记号 | 轨道流形 | 考克斯特 | 考克斯特图 | 阶 |
|---|---|---|---|---|---|
| 有限 | |||||
| Zn | n | n• | [n]+ |  
|
n |
| Dn | nm | *n• | [n] |
|
2n |
| 仿射 | |||||
| Z∞ | ∞ | ∞• | [∞]+ | 
|
∞ |
| Dih∞ | ∞m | *∞• | [∞] |
|
∞ |
| 双曲 | |||||
| Z∞ | [πi/λ]+ |
|
∞ | ||
| Dih∞ | [πi/λ] |
|
∞ | ||
参见
参考文献
- ^ Johnson, Norman W. 11.2 The polygonal groups. Geometries and transformations. Cambridge University Press. 2018: 141.
- ^ HSKR, K. L. Dr. cjl. 1989. PhD Thesis. SIMON FRASER UNIVERSITY.
- ^ 台北盆地聚落发展之空间分析 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 国立台湾大学地理环境资源学系暨研究所 2005-10-31
- ^ 中学地理科常用英汉辞汇 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 香港教育局
- ^ Johnson, Norman W. 11: Finite Symmetry Groups. Geometries and transformations. Cambridge University Press. 2018: 226 [2022-05-30]. （原始内容存档于2022-08-03）.
- ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
- ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb （页面存档备份，存于互联网档案馆） (2014/08/01)
- ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213)