在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

有直角三角形$ABC$，$\angle C$ 是直角，$\angle A\leq \angle B$，${\overline {AB}}$的中垂線分別交${\overline {AB}}$、${\overline {AC}}$於$D,E$兩點，且三角形$ADE$面積是三角形$ABC$面積的${\frac {1}{3}}$，證明$\angle A=30^{\circ }$。

这题不很简单吗？∠ADE是直角，两个三角形又共享∠A，所以两个三角形相似。设AD=1,那么AC=√3·AD =√3， AB=2AD = 2, cos A = AC/AB = √3/2，所以∠A=30°

這樣說起來是蠻簡單的沒錯，那在下再追問一個我在這類圖形上找到的性質好了。

有直角三角形$ABC$，$\angle C$ 是直角，$\angle A\leq \angle B$，${\overline {AB}}$的中垂線分別交${\overline {AB}}$、${\overline {AC}}$於$D,E$兩點，且三角形$ADE$面積是三角形$ABC$面積的${\frac {1}{n}}$，證明$2\leq n<4$。

好像也不难，此时$\cos A={\frac {\sqrt {n}}{2}}$，又因为$\angle A\leqslant \angle B=90^{\circ }-\angle A$，

所以$0^{\circ }<\angle A\leqslant 45^{\circ }$，

所以${\frac {\sqrt {2}}{2}}\leqslant \cos A<1$

所以${\sqrt {2}}\leqslant {\sqrt {n}}<2$，所以$2\leqslant n<4$

重點不是簡單與否，而是這個事實很有趣。我當初自己發現這個有趣的事實時，只想到國中數學解法，比較囉嗦。

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易證明△ADE全等於△BDE(SAS性質)，故△BCE面積/△ACB面積=1-(1/n)-(1/n)=(n-2)/n

又△BCE與△ACB有共同底邊BC，故兩三角形高的比=面積比，線段EC/線段AC=(n-2)/n

可令線段AE=線段BE=2，線段EC=n-2，在△BCE中，使用勾股定理，${\overline {BC}}={\sqrt {{\overline {BE}}^{2}-{\overline {EC}}^{2}}}={\sqrt {2^{2}-(n-2)^{2}}}={\sqrt {n(4-n)}}$

線段EC=n-2≧0，故2≦n；線段BC=√(n(4-n))，故4-n>0(4-n=0時，△ACB就退化為線段了)，故n＜4

因此2≦n＜4。

n=3代回去，線段CE=n-2=1，又線段BE=2，故△BCE是一個30°-90°-60°的三角形，

故∠A=(90°-∠EBC)/2=30°。

在下所謂的有趣事實是，只要把三邊中點連起來，「任何」三角形都可分割成兩兩全等且與原三角形相似的「4個」小三角形，但30°-60°-90°的三角形除此之外，也可以分割成「3個」符合前述條件的小三角形。我找不到其他可以分割為「3個」如此的小三角形的三角形。