1 + 1 + 1 + 1 + …

1 + 1 + 1 + 1 + …,亦写作 , ,是一个发散级数,表示其部分和形成的数列不会收敛。数列1n可以视为公比为1的等比级数。不同于其他公比为有理数的等比级数,此级数不但在实数下不收敛,在某些特定数字p的p进数下也不收敛。若在扩展的实轴中,因为部分和形成的数列单调递增且没有上界,因此级数的值如下:

一张表示级数1 + 1 + 1 + 1 + ⋯的图
级数1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
将级数1 + 1 + 1 + 1 + ⋯平滑化
平滑化之后
说明此直线和y轴交点的图
平滑化后的渐近特性,此直线在y轴的截轴为−1/2[1]

此发散级数无法用切萨罗求和阿贝尔和求和法求和。

当出现于物理运用时,它也解释为ζ函数正规化英语Zeta function regularization,它是黎曼ζ函数在零点的取值。

上述二个公式在时不成立,必需利用解析连续定义。

用上式求得(假设

以下ζ(s)s = 1时的级数展开:也是这种意义下此级数的和:

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −12[2]

也可用其他的s值来为其他的级数求和,例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12,ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0,其通式为

其中Bk伯努利数[3]

在同一年内,有两位杰出的物理学家斯拉夫诺夫(A. Slavnov)和F. Yndurain 分别在巴塞罗那作了学术演讲。两场学术演讲的主题不同,但是在这两个人的介绍当中,都说到了一句令观众非常难忘的话:“各位都知道,1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2”,某程度意味着“如果观众不知道这个,那么继续听下去是没有意义的。” [4]

参考资料

  1. ^ Tao, Terence, The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, April 10, 2010 [January 30, 2014], (原始内容存档于2017-06-06) 
  2. ^ Cosmology: Techniques and Observations. [2008-10-03]. (原始内容存档于2020-11-17). 
  3. ^ Tao, Terence. The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. 2010-04-10 [2014-03-10]. (原始内容存档于2017-06-06). 
  4. ^ Elizalde, Emilio. Cosmology: Techniques and Applications. Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions. 2004 [2008-10-03]. (原始内容存档于2020-11-17).