非整数进位制

非整数进位制是指底数不是正整数进位制。对于一个非正整数的底数β > 1,以下的数值:

而数字di为小于β的非负整数。此进位制可以配合所使用β,称为β进制β展开,后者的名称是数学家Rényi在1957年开始使用[1],而数学家Parry在1960年第一个进行相关的研究[2]。每一个实数至少有一个β进位制的表示方式(也可能是无限多个)。

β进制可以应用在编码理论[3]准晶体模型的描述[4][5]

建构

β进制是十进制的延伸。十进制的表示法不唯一(例如,1.000... = 0.999...),不过所有有限位数的十进制表示法是唯一的。有限位数β进制就不一定有此特性,例如,在β = φ黄金比例)时,φ + 1 = φ

针对特定实数,选择其β进制各位数的方式,可以用以下的贪心算法产生,本质上是来自Rényi (1957),此处的公式则来自Frougny (1992)

β > 1是底数,x为非负的实数。令xx取整函数(小于等于x的最大整数),令{x} = x − ⌊xx的小数部分。存在一整数k使得βkx < βk+1。令

 

 

针对k − 1 ≥  j > −∞,定义

 

换句话说,x的正规β进制表示法可以用以下方式得到:先选择最大的dk,使得βkdkx,再选择最大的dk−1,使得βkdk + βk−1dk−1x,以此类推。此作法会选择可以表示x字典序最大的字串。

若是整数进位制,以上方式会产生一般整数进位制下的数值。因此此建构方式将一般的算法推广到非整数的基底β

参考文献

  1. ^ Rényi, Alfréd, Representations for real numbers and their ergodic properties, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1957, 8 (3–4): 477–493, ISSN 0001-5954, MR 0097374, S2CID 122635654, doi:10.1007/BF02020331, hdl:10338.dmlcz/102491  
  2. ^ Parry, W., On the β-expansions of real numbers, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1960, 11 (3–4): 401–416, ISSN 0001-5954, MR 0142719, S2CID 116417864, doi:10.1007/bf02020954, hdl:10338.dmlcz/120535  
  3. ^ Kautz, William H., Fibonacci codes for synchronization control, Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory, 1965, IT–11 (2): 284–292, ISSN 0018-9448, MR 0191744, doi:10.1109/TIT.1965.1053772 
  4. ^ Burdik, Č.; Frougny, Ch.; Gazeau, J. P.; Krejcar, R., Beta-integers as natural counting systems for quasicrystals, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1998, 31 (30): 6449–6472, Bibcode:1998JPhA...31.6449B, CiteSeerX 10.1.1.30.5106 , ISSN 0305-4470, MR 1644115, doi:10.1088/0305-4470/31/30/011 
  5. ^ Thurston, W.P., Groups, tilings and finite state automata, AMS Colloquium Lectures, 1989 

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