一个定义于
X
{\displaystyle X}
二元关系
R
{\displaystyle R}
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
子集 。给定
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
(
a
,
b
)
∈
R
{\displaystyle (a,b)\in R}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
如果对于所有
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R̸
a
{\displaystyle b\not Ra}
(
a
,
b
)
∈
R
⟹
(
b
,
a
)
∉
R
{\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}
R
{\displaystyle R}
非对称 的。以一阶逻辑 的形式可以写成：
∀
a
,
b
∈
X
:
a
R
b
⟹
¬
(
b
R
a
)
{\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)}
一个逻辑等价的定义如下：对于所有
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R
a
{\displaystyle bRa}
∀
a
,
b
∈
X
:
¬
(
a
R
b
∧
b
R
a
)
{\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)}
非对称关系的一个例子是定义于实数 上的“小于关系”，亦即
R
=
{
(
a
,
b
)
|
a
<
b
}
{\displaystyle R=\{(a,b)\ |\ a<b\}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
b
≤
a
{\displaystyle b\leq a}
非对称关系不代表对称关系 的相反，上述的“小于等于关系”既不是非对称关系，也不是对称关系；而“空关系（
R
=
∅
{\displaystyle R=\emptyset }
非对称关系（Asymmetric）与反对称关系 （Antisymmetric）的差异在于：反对称关系容许自反性 ，
(
a
,
a
)
{\displaystyle (a,a)}
R
{\displaystyle R}
一个关系为非对称的，当且仅当该关系为反对称 且非自反 的[ 2]
对于一个非对称关系
R
{\displaystyle R}
限制 或求其逆关系 后，该关系同样是非对称的。例如，由“
<
{\displaystyle <}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
b
≮
a
{\displaystyle b\not <a}
>
{\displaystyle >}
一个递移关系 为非对称的，当且仅当该关系为非自反 的[ 3]
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R
a
{\displaystyle bRa}
a
R
a
{\displaystyle aRa}
一个关系为递移性的且非对称的，当且仅当该关系为严格偏序 的。
一个非对称关系不一定是全关系 。例如，由“严格子集”定义的关系是非对称关系（若
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
B
⊄
A
{\displaystyle B\not \subset A}
{
1
,
2
}
⊄
{
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2\}\not \subset \{3,4\}}
{
3
,
4
}
⊄
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{3,4\}\not \subset \{1,2\}}
^ Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273 , 1993 ^ Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158 , 2002 ^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF) . Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20 ] . （原始内容 (PDF) 存档于2013-11-02）.
提示：此条目的主题不是反对称关系。
