双球坐标系

三維正交坐標系的一種

双球坐标系(英语:Bispherical coordinates)是一种三维正交坐标系。设定二维双极坐标系包含于 xz-平面。设定这双极坐标系的两个焦点 包含于 z-轴。将双极坐标系绕着 z-轴旋转,则可以得到双球坐标系。在这二维双极坐标系里,坐标 的等值曲线是圆圈。 经过旋转后,圆圈变成一个环面,而圆圈的圆心变成一个包含于 xy-平面的圆圈,称为环心圆。称环心圆至环面的距离为环小半径

图 1 )双球坐标系的几个坐标曲面。红色环面的 。蓝色圆球面的 。黄色半平面的 。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示),直角坐标大约为
图 2 )双极坐标系绘图。红色圆圈变成上图的红色环面( -坐标曲面),而蓝色圆圈则变成蓝色圆球面( -坐标曲面)。

基本定义

在三维空间里,一个点 P 的双球坐标   最常见的定义是

 
 
 

其中, 直角坐标  坐标是  弧度  坐标是点 P 离两个焦点的距离    的比例的自然对数

 

坐标曲面

每一个红色的  -坐标曲面都是包含了两个焦点    环面。,每一个环面的环心圆都不相同。这些环心圆都包含于 xy-平面。环小半径为

 

当绝对值   增加时,环小半径会减小,环心圆会靠近原点。当环心圆与原点同点时,  达到最大值  

每一个蓝色的  -坐标曲面都是不相交的圆球面。每一个圆球面都包围着一个焦点;圆球心都包含于 z-轴。圆球半径为

 

它们的圆球心都包含于 z-轴。正值   的圆球面在   半空间;而负值   的圆球面在   半空间。  曲线则与 xy-平面同平面。当   值增加时,圆球面的半径会减少,圆球心会靠近焦点。

逆变换

 
图 3 )点 P 的坐标    的几何意义。在一个方位角   为常数的平面里,双球坐标系变成双极坐标系。  是角   的弧度。  是点 P 离两个焦点的距离    的比例的自然对数   的等值曲线都是圆圈,分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交(表示在洋红色的方盒里)。

双球坐标   可以用直角坐标   来表示。方位角   的公式为

 

点 P 与两个焦点之间的距离是

 
 

    的比例的自然对数

 

如图 3 ,  是两条从点 P 到两个焦点的线段 之间的夹角。这夹角的弧度是   。用余弦定理来计算:

 

标度因子

双球坐标    的标度因子相等:

 

方位角的标度因子为

 

无穷小体积元素是

 

拉普拉斯算子

 

其它微分算子,像    ,都可以用   坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

双球坐标有一个经典的应用,这是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里,双球坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是,有两个不同半径的圆球导体,请问其周围的电位电场为什么?应用双球坐标,我们可以精致地分析这个问题。

参阅

参考目录

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9. 
  • Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.