角分辨率

一个光学仪器的角分辨度(英文:angular resolution),指仪器能够分辨远处两件细小物件下,它们所形成的最小夹角。角分辨度是光学仪器解像能力的量度,角分辨度愈小,解像能力愈高。角分辨度常以瑞利判据(英文:Rayleigh criterion)作为标准,最早由物理学家瑞利于1879年提出。[1]

对于单缝衍射的情况,瑞利判据给出的条件是:

对于圆孔衍射的情况,瑞利判据给出的条件是:

其中 λ 是光线的波长a 是光学仪器孔隙的阔度。

解像能力与角分辨度

 
瑞利判据:两个相等强度的点光源,其中一个的中央极大值,刚好落在另一个的第一极小值。

解像能力,是一个光学仪器,比如望远镜、照相机、甚至肉眼,分辨远处两件细小物件的能力。当两个物件的光线,通过光学仪器的孔隙,则会发生衍射,形成艾里斑,因而互相重叠。当两件物件相距太近,影像重叠太多,两个影像便无法分辨。角分辨度 θmin,就是当两件物件刚好能够分辨时,它们与孔隙所形成的夹角。

两个影像能否分辨,常以瑞利判据作为标准:两个相等强度的点光源,其中一个的中央极大值,刚好落在另一个的第一极小值,则称它们刚好能够分辨。[2]若它们的距离再远一点,就是能够分辨;再近一点,则无法分辨。

两件物件间的实际距离,称为空间分辨度 s。设物件和孔隙的距离为 r。当角分辨度足够小,运用小角度近似 sin θθ ,以及弧度定义   ,可知空间分辨度为

 

其中角分辨度 θmin 必须以弧度作单位。其倒数

 

又称为鉴别率resolving power)。

单缝衍射

波长λ 的光线,经过一条阔度为 a 的长形单缝,衍射的光强 I角位移 θ 的分布可写成:

 


 ,可得第一个零点 θmin 发生在:

 

经简化后,得  


由于 θmin 一般很小,运用小角度近似 sin θθ ,得到单缝衍射的瑞利判据是:

 

其中 θmin弧度作单位。


若物件和单缝的距离为 r ,则知空间分辨度 s

 


从上面可见,单缝衍射的角分辨度与光线波长成正比,与单缝阔度成反比。

圆孔衍射

波长λ 的光线,经过一条直径为 a 的圆孔,衍射的光强 I角位移 θ 的分布可写成:

 

其中  贝塞尔函数


 ,可得第一个零点 θmin 发生在:

 

经简化后,得  


由于 θmin 一般很小,运用小角度近似 sin θθ ,得到圆孔衍射的瑞利判据是:

 

其中 θmin弧度作单位。


若物件和圆孔的距离为 r ,则知空间分辨度 s

 


从上面可见,圆孔衍射的角分辨度与光线波长成正比,与圆孔直径成反比。

视力

一般人的虹膜直径约为 5 mm,肉眼对波长约 555 nm 的光最敏感,代入瑞利判据可以得:

 

在眼科医生或配眼镜时所用的斯内伦视力表英语snellen chart,一般正常的肉眼视力,至少应在 6 m 的距离看到 8.8 mm 的图像。

 

根据研究,大部分人的肉眼,角分辨度的极限是 0.0005 rad。在最理想的条件下,甚至可达 0.0002 rad。[3]由此可见,人类肉眼的分辨极限,相当接近瑞利判据。

参考

  1. ^ Lord Rayleigh, F.R.S. Investigations in optics, with special reference to the spectroscope (PDF). Philosophical Magazine. 5. 1879, 8 (49): 261–274 [2019-12-12]. doi:10.1080/14786447908639684. (原始内容存档 (PDF)于2020-12-05). 
  2. ^ Born, M.; Wolf, E. Principles of Optics. Cambridge University Press. 1999: 461. ISBN 0-521-64222-1. 
  3. ^ Ackerman, Eugene, Biophysical Science, Prentice-Hall, 1962. Considerable material on vision from a medical point of view.