总变差去噪


总变差去噪英语:Total Variation Denoising)是讯号处理中一种常见的降噪方法,于1992年由L. I. Rudin、S. Osher英语Stanley Osher和E. Fatemi提出,因此亦称为ROF模型[1]。一个含有噪声的讯号相较于其未受噪声影响的讯号,会有较大的总变差值,即其梯度绝对值的总和较大。因此若能找到一个与原始讯号相似且总变差较小的讯号,即可作为原始讯号的降噪结果。此算法可以在去除噪声的同时保留边缘,即使在低讯号噪声比的情况下,依然能有效的去噪和保留边缘。

总变差

总变差为一函数其数值变化的总和。可表示为其微分后取绝对值再积分的结果。

一维连续函数

若一函数 为一维连续可微函数,其在区间 之总变差定义为

 ,

其中  的一次微分。

 不可微分时,其总变差由一般性的定义给出:

 ,

其中 为区间 中所有可能的分割,即 

一维离散函数

若一函数 为一维离散函数,则其总变差定义为

 .

差分后取绝对值再加总的结果。

一维讯号去噪

设输入的观察讯号为 ,对 去噪得到的讯号为 。我们可以透过解最佳化问题来从 得到 。当以总变差去噪法对讯号进行去噪时,最佳化问题应满足以下两个条件:

  •   相似,以保留讯号整体的结构性
  •  的总变差不大,以降低噪声

在数学上,两个讯号的相似度可以以两者差的 -范数表示,即

 ,

其中 即为 -范数,而 为讯号的取样点。

借由上述数学表达式,总变差去噪法的最佳化问题可以写成

 .

即利用最小平方法,并以总方差作为正规化的正规项,以求得去噪结果。其中 为正规化参数,用于调整正规项的重要程度。

由于  皆为凸函数,因此一维总变差去噪的最佳化为一凸优化问题[2],有许多凸优化算法可以求解,且其解必为全局最佳值。

影像去噪

影像为二维离散讯号,在ROF模型中定义的总变差为

 ,

其中 梯度运算子。

然而该定义不可微分,做为最佳化问题的正规项时不易求解。因此也有 -范数形式的二维总变差

 .

最佳化问题的形式与解一维讯号形式相同

 .

然而二维讯号的最佳化问题不一定为凸优化问题,因此无法以常见凸优化算法求解。目前发展能求解的算法有原始-对偶算法英语Wikipedia:primal-dual method[3]交替方向乘子法(ADMM)[4]布雷格曼方法英语Wikipedia:Bregman method[5]等等。

其他变形

高阶微分

总变差的概念为先微分取绝对值后再积分。因此在一些文献中[6]有使用到二阶微分以上的例子。 当处理讯号为离散讯号时,二阶差分的形式如下

 

因此使用二阶差分的总变差可定义为

 

而最佳化问题的形式为

 

双边总变差去噪

双边总变差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正规项[7]。该正规项基于总变差,结合双边滤波器的概念而成。主要应用于影像复原

双边总变差的形式如下

 ,

其中 为处理图片,  为两个运算子,分别代表将图片水平移动 个像素与垂直移动 个像素。 为权重,随着平移距离递减。

  时,图片的每一个像素与相邻之下一个像素相减,此时的双边总变差与总变差相同。当 为其它值时,可以当成是计算斜线方向以及将图片降采样后的总变差值。如此达到更好的正规化效果。

根据S.Farisu的实验结果[7],双边总变差相对于总变差,边界模糊的情况较少,能够更好的保留原图片边界。

参见

参考文献

  1. ^ Rudin, L. I.; Osher, S.; Fatemi, E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D. 1992, 60 (1–4): 259–268. Bibcode:1992PhyD...60..259R. CiteSeerX 10.1.1.117.1675 . doi:10.1016/0167-2789(92)90242-f. 
  2. ^ Little, M. A.; Jones, Nick S. Sparse Bayesian Step-Filtering for High-Throughput Analysis of Molecular Machine Dynamics (PDF). ICASSP 2010 Proceedings. 2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 2010 [2020-06-13]. (原始内容 (PDF)存档于2018-07-28). 
  3. ^ Chambolle, A. An algorithm for total variation minimization and applications. Journal of Mathematical Imaging and Vision. 2004, 20: 89–97. CiteSeerX 10.1.1.160.5226 . doi:10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e. 
  4. ^ Wahlberg, B.; Boyd, S.; Annergren, M.; Wang, Y. An ADMM algorithm for a class of total variation regularized estimation problems. 2012. arXiv:1203.1828  [stat.ML]. 
  5. ^ Bregman L. "A Relaxation Method of Finding a Common Point of Convex Sets and its Application to Problems of Optimization". Dokl. Akad. Nauk SSSR, v. 171, No. 5, 1966, p.p. 1019-1022. (English translation: Soviet Math. Dokl., v. 7, 1966, p.p. 1578-1581)
  6. ^ Heide, F. High-quality computational imaging through simple lenses. ACM Transactions on Graphics (TOG). 2013, 32: 1––14. doi:10.1145/2516971.2516974. 
  7. ^ 7.0 7.1 Farisu, S. Fast and robust multiframe super resolution. IEEE transactions on image processing. 2004, 13: 1327––1344. doi:10.1109/TIP.2004.834669.