米田引理

范畴论中,米田引理断言一个对象的性质由它所表示的函子决定。此引理得名于日本数学家暨计算机科学家米田信夫

陈述

 为一范畴,定义两个函子范畴如下:

 
 

并定义两个函子

 
 

其中  

米田引理的抽象陈述如下:

米田引理。有自然的同构

 
 

这两个同构对所有变元 都满足函子性。

对任一对象 ,在上述同构中分别取 ,便得到米田引理最常见的形式:

推论。函子  完全忠实的。

应用

由上述推论,范畴中的对象 由它所表示的函子  唯一确定(至多差一个同调),这是可表函子理论的根基所在。例如在代数几何中,一个常见的技术是将概形等同于它所代表的函子,后者往往具有直观的几何诠释,技术上亦较容易处理;另一方面,我们也往往从函子的观点研究空间的商、极限或者是模空间问题,第一步是定义适当的“函子解”,其次再研究它可表与否。代数拓扑中的分类空间也是可表函子概念的体现。

文献

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接