立方和是数学公式的一种,它属于因式分解乘法公式恒等式,被普遍使用。立方和是指一个立方数,加上另一个立方数,即是它们的总和。公式如下:[1]

立方和的简单图解

立方和被因式分解后,答案分别包含二项式三项式,与立方差相同。

验证

主验证

验证此公式,可透过因式分解,首先设以下公式:

 

然后代入:

 

透过因式分解,可得:

 
 

这样便可验证: 

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理:

 
 

那即是只要减去  便可得到立方和,可设:

 
右边的方程  

运用因式分解的方法:

 
 
 
 

这样便可验证出: 

几何验证

 
图象化 

透过绘立体的图像,也可验证立方和。[2] 根据右图,设两个立方,总和为:

 

把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可间接得到:

 

要得到 ,可使用 的空白位置。该空白位置可分割为3个部分:

  •  
  •  
  •  

把三个部分加在一起,便得:

 
 

之后,把 减去它,便得:   上公式发现两个数项皆有一个公因子,把它抽出,并得:

 

 可透过和平方公式,得到:

 
 

这样便可证明 

反验证

透过 也可反验证立方和。

 
 
 
 

以上计算方法亦可简化为一个表格:

 
x)      
       
       

这样便可证明 

立方差

立方差也可以使用立方和来验证,例如:

 

把两个数项都转为立方数:

 

运用负正得负,可得:

 

然后运用立方和,可得:

 
 

这个方法更可验证到立方差的公式是 

两组立方和的数

有些整数可以有两个立方和组合,[3] 而最少的,已是过千的1729。它是两组不同的立方和:

 
 

下一个同样有两个立方和组合的整数是4104

 
 

首十个两组立方和的数:1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见

参考文献

  1. ^ Factorization of x^3 + y^3. Queen's College On The Web. [2018-10-16]. (原始内容存档于2021-02-06) (英语). 
  2. ^ History Dudeney Canterbury puzzles elliptic curves. [1994-11-12]. 原始内容存档于2007-08-08 (英语). 
  3. ^ The Hardy-Ramanujan Number. Jimloy.com. [2018-01-16]. (原始内容存档于2013-05-28) (英语).