极限 (范畴论)

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在数学里的范畴论中，极限（英语：Limit）的概念融贯了多种构造，包括和、积等等；范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。在不同场合的别名及英译如下表：

余极限/上极限（colimit）	正（向）极限（direct limit）	归纳极限（inductive limit）
极限（limit）	逆（向）极限（inverse limit）	投射极限/射影极限（projective limit）

本条目用语取归纳极限与射影极限。

定义

一范畴 C 中的极限及上极限可用 C 中的图示来定义。形式上，C 中类型 J 的图示是指一个由 J 映射至 C 的函子：

F : J → C.

范畴 J 称之为“索引范畴”，图示 F 可想做是以 J 索引 C 内的物件及态射。J 实际的物件及态射为何并不重要，关键在于之间的互动。

通常，最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时，此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

极限

设 F : J → C 为一个在范畴 C 中类型 J 的图示。一个对应于 F 的“锥体”是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 内之物件 X 索引的态射族 ψ_X : N → F(X)，使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 F(f) o ψ_X = ψ_Y。

图示 F : J → C 的极限是一个对应于 F 的锥体 (L, φ)，使得对所有其他对应于 F 之锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : N → L，使得对所有 J 中的 X，φ_X o u = ψ_X。

A universal cone

可以说，锥体 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成锥体 (L, φ)。此一态射 u 有时称为“中介态射”。

极限亦称之为“泛锥体”，因为其所具有之泛性质（详见下文）。如同每个泛性质一般，上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态：极限物件 L 够一般，能让所有其他锥体分解；另一方面，L 也必须够特殊，每个锥体都只可能有“一个”因子。

极限也可视为是在对应于 F 的锥体范畴内的终对象。

图示可能不存在极限；但若一个图示存在极限，则此一极限一定是唯一的：在同构下是唯一的。

上极限

极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转，以得到上极限及上锥体之定义，但下文仍将明确叙明之：

图示 F : J → C 的“上锥体是指 C 中的一物件 N，具有可以每个 J 中的物件 X 索引的态射族

ψ_X : F(X) → N

使得对每个 J 内的态射 f : X → Y，均有 ψ_Y o F(f)= ψ_X。

图示 F : J → C 的上极限是 F 的上锥体 (L, $\phi$)，使得对所有其他对应于 F 的上锥体 (N, ψ)，总存在一个“唯一的”态射 u : L → N，使得对所有 J 中的 X，u o $\phi$_X = ψ_X。

A universal co-cone

上极限也称为“泛上锥体”，也可视为是在对应于 F 的上锥体范畴内的始对象。

如同极限一般，若图示 F 存在上极限，则此上极限在同构下是唯一的。

归纳系统与射影系统

以下固定一个范畴${\mathcal {C}}$，并探讨其中的极限。为避免集合的悖论，我们将固定一个宇宙${\mathcal {U}}$，并假定${\mathcal {C}}$是${\mathcal {U}}$-范畴，即：对任意两个对象$X,Y$，态射集$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$同构于${\mathcal {U}}$里的某个集合。$\mathbf {Set}$表所有${\mathcal {U}}$里的集合构成的范畴。

设$I$为对${\mathcal {U}}$的一个小范畴，所谓归纳系统（或称I-图）系指一个函子$\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$，射影系统则指一函子$\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$。

形象地说，归纳系统不外是给定${\mathcal {C}}$中一族对象$\{X_{i}:i\in I\}$，对每个态射$i\rightarrow j$都有${\mathcal {C}}$中对应的态射$X_{i}\rightarrow X_{j}$，且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向：$X_{i}\leftarrow X_{j}$。

固定一对象$X\in {\mathcal {C}}$，对任意归纳系统α或射影系统β，可定义从$I^{\mathrm {op} }$到$\mathbf {Set}$的函子

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)$

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))$

我们将遵循可表函子的哲学，从集合的射影极限出发。暂设${\mathcal {C}}=\mathbf {Set}$，$\mathbf {Set}$上的归纳系统不外是$I$上的预层。给定一个归纳系统β，定义：

$\varprojlim \beta :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}$

（注意：若$I$是空范畴，对应的射影极限是单元素集合。）

可手工验证下述自然同构：

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )$

若干例子

始对象与终对象

令$I$为空范畴，此时的归纳极限与射影极限（若存在）便分别满足泛性质

$\forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1$

这不外就是${\mathcal {C}}$里的始对象与终对象。

纤维积与纤维余积

令$I$为离散范畴（即：其间只有恒等态射），此时归纳及射影系统不外只是一族${\mathcal {C}}$的对象$\{X_{i}:i\in I\}$，对应的归纳极限及射影极限称作余积（又称上积）与积。

令$I$为范畴$\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet$；设$\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$对应于$Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}$。若其归纳极限存在，称之$Y_{1},Y_{2}$对$X$的纤维余积，写作$Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}$。

对偶地看，对于$\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$，对应于$X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}$，若其射影极限存在，称之$X_{1},X_{2}$对$Y$的纤维积，写作$X_{1}\times _{Y}X_{2}$。

纤维积与纤维余积可视为“相对”版本的积与余积。若存在终对象（或始对象），则积（或余积）可视为对该对象的纤维积（或纤维余积）。

核与上核

核（kernel）与余核（cokernel，又译上核），有时也称等化子（equalizer）与余等化子（coequalizer）。考虑对应到 $X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}$ 的归纳或射影系统，此时的归纳极限$\mathrm {Coker} (f,g)$称作上核，射影极限$\mathrm {Ker} (f,g)$称作核。它们的泛性质图解如下：

在加法范畴中仅须考虑$g=0$的状况，上述概念遂归结为同调代数所探讨的核与余核。

性质

极限之交换

设$I,J$为小范畴，$\alpha :I\times J\rightarrow {\mathcal {C}}$为归纳系统，则有自然同构

$\varinjlim _{i,j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{i}\varinjlim _{j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{j}\varinjlim _{i}\alpha (i,j)$

将箭头反向，对射影系统$\beta :(I\times J)^{\mathrm {op} }=I^{\mathrm {op} }\times J^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$亦有自然同构

$\varprojlim _{i,j}\beta (i,j)=\varprojlim _{i}\varprojlim _{j}\beta (i,j)=\varprojlim _{j}\varprojlim _{i}\beta (i,j)$

归纳极限与射影极限通常不交换，一个格外有用的结果是：若$I$是滤通范畴，则$\varinjlim _{I}$与任意$\varprojlim _{J}$交换。

完备性

若一个范畴内存在任意的（小）射影极限，则称之完备范畴；完备的充要条件是存在任意的积与核。

将箭头反向，遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。

正合函子

更多信息：正合函子

考虑一个函子$F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C'}}$。

• 若${\mathcal {C}}$里存在任意的有限射影极限，且$F$与有限射影极限交换，则称$F$为左正合。
• 若${\mathcal {C}}$里存在任意的有限归纳极限，且$F$与有限归纳极限交换，则称$F$为右正合。
• 若上述条件同时被满足，则称$F$为正合。

在阿贝尔范畴中，上述定义回归到同调代数中的定义。

根据极限的泛性质，$\mathrm {Hom} (-,-)$函子无论对哪个变数都是左正合的。

设$(F,G)$是一对伴随函子。若${\mathcal {C}}$存在任意有限归纳极限，则$F$右正合；若存在任意有限射影极限，$G$左正合。此法可建立许多函子的正合性。

具体实例

集合论

• 定义中已构造集合的（小）射影极限。对于任意一个小范畴$I$及归纳系统$\alpha :I\rightarrow \mathbf {Set}$，其归纳极限亦存在，定义为下述商集：

$\varinjlim \alpha :={\dfrac {\coprod _{i\in I}\alpha (i)}{(\exists i_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{n},x\in \alpha (i_{1})\mapsto \cdots \mapsto y\in \alpha (i_{n}))\Rightarrow (x\sim y)}}$

• 两个集合的纤维积与上积为

$Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}=Y_{1}\sqcup Y_{2}/\{f_{1}(y_{1})=f_{2}(y_{2})\Rightarrow x_{1}\sim x_{2}~\}$

$X_{1}\times _{Y}X_{2}=\{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}:f(x_{1})=f(x_{2})\}$

• 设$f,g:X_{0}\rightarrow X_{1}$，则

$\mathrm {Ker} (f,g)=\{x_{0}\in X_{0}:f(x_{0})=g(x_{0})\}$，这是“等化”一词的来由。

$\mathrm {Coker} (f,g)=X_{1}/\{\forall x_{0}\in X_{0},f(x_{0})\sim g(x_{0})\}$

• $\mathbf {Set}$是完备且上完备的。

拓扑空间

拓扑空间范畴$\mathbf {Top}$也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同，惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。

特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限，此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析及同伦理论中特别有用。

一个拓扑空间$X$满足豪斯多夫性质的充要条件是$p_{1},p_{2}:X\times X\rightarrow X$的核$\Delta :X\rightarrow X\times X$是闭浸入，将此性质推广到概形上，则得到分离概形。

概形

概形范畴$\mathbf {Sch}$（或相对版本$\mathbf {Sch} _{/S}$）有终对象$\mathrm {Spec} \mathbb {Z}$（或$S$），并存在有限的纤维积。

抽象代数

阿贝尔群范畴$\mathbf {Ab}$或一个环$R$上的模范畴$\mathbf {Mod} _{R}$都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。

射影极限的一个典型例子是p进整数：$\mathbb {Z} _{p}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$。

文献

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接

• Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira