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扭棱四角反角柱

扭棱四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是约翰逊多面体的其中一个，其所引为J85[1]。它无法由帕雷托立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来。扭棱四角反角柱是约翰逊多面体中的基本立体之一。约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名并给予描述[2]。

扭棱四角反角柱
扭棱四角反角柱
类别约翰逊多面体
J84 - J85 - J86
识别
名称扭棱四角反角柱
参考索引J85
鲍尔斯缩写
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		snisquap
数学表示法
施莱夫利符号ss{2,8}在维基数据编辑
性质
面26
边40
顶点16
欧拉特征数F=26, E=40, V=16 （χ=2）
组成与布局
面的种类8+16个三角形
2个正方形
顶点图8个(35)
8个(34.4)
对称性
对称群D4v群
特性
凸多面体
图像
立体图

（展开图）

性质

扭棱四角反角柱共由26个面、40条边和16顶点所组成[3][4][5]。在其26个面中，有24个三角形和2个正方形[3]。在其16个顶点中，有8个顶点是5个三角形的公共顶点[5]，在顶点图中可以用[35]来表示[6]、另外8个顶点是4个三角形和1个正方形的公共顶点[5]，在顶点图中可以用[34,4]来表示[6]。

构造

形如其名地，扭棱四角反角柱可以透过将四角反角柱套用扭棱变换来构造。在施莱夫利符号中可以表示为ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱[7]，其中的扭棱是考克斯特扭棱；而在康威扭棱中，扭棱四角反角柱可以透过将四角锥套用康威扭棱来构造，在康威多面体表示法中可以表示为sY4[8]。

体积与表面积

若一个扭棱四角反角柱边长为 ，则其表面积 为：[9]

 [10]

而其体积 为：

 

其中 是下列多项式的最大实根：

 [11]

顶点座标

令 为下列三次式的正实根，约为 ：

 

和h约为 ：

 

则边长为2的扭棱四角反角柱的顶点座标由下列顶点的轨道的并集在绕z轴旋转90°和绕垂直于z轴并与x轴夹角22.5°的直线旋转180°所产生的空间对称群之群作用下给出：[12]

 

扭棱反角柱

类似的造方式之多面体还有扭棱三角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,6}）为经过扭棱变换的三角反角柱（可以视为一个对称性较低的正八面体），其结果为伪二十面体（可以视为一个对称性较低的正二十面体）。另一个为扭棱五角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,10}）甚至是更高边数的扭棱反角柱，但其结果不会是由正三角形构成的凸多面体。边数更少的扭棱二角反角柱（施莱夫利符号：ss{2,4}）对应另一个约翰逊多面体——扭棱锲形体，但必须在二角反角柱中保留两个退化的对角面（以红色绘制）。这些都可以视为一系列扭棱反角柱无穷序列的一项。[7]

扭棱反角柱
对称性 D2d, [2+,4], (2*2) D3d, [2+,6], (2*3) D4d, [2+,8], (2*4) D5d, [2+,10], (2*5)
反角柱  
s{2,4}
A2
     
（顶点：4、 边：8、 面：6） 		 
s{2,6}
A3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
     
（顶点：6、 边：12、 面：8） 		 
s{2,8}
A4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
     
（顶点：8、 边：16、 面：10） 		 
s{2,10}
A5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
     
（顶点：10、 边：20、 面：12）
截角反角柱  
ts{2,4}
tA2
（顶点：16、边：24、面：10） 		 
ts{2,6}
tA3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
（顶点：24、 边：36、 面：14） 		 
ts{2,8}（英语：truncated square antiprism）
tA4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
（顶点：32、 边：48、 面：18） 		 
ts{2,10}
tA5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
（顶点：40、 边：60、 面：22）
对称性 D2, [2,2]+, (222) D3, [3,2]+, (322) D4, [4,2]+, (422) D5, [5,2]+, (522)
扭棱反角柱 J84 二十面体 J85 凹
sY3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA3 sY4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA4 sY5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA5
 
ss{2,4}
（顶点：8、 边：20、 面：14） 		 
ss{2,6}
（顶点：12、 边：30、 面：20） 		 
ss{2,8}
（顶点：16、 边：40、 面：26） 		 
ss{2,10}
（顶点：20、 边：50、 面：32）

参见

参考文献

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  2. ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 
  3. ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）. 
  4. ^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）. 
  6. ^ 6.0 6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-01-25）. 
  7. ^ 7.0 7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-03-27）. 
  8. ^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）. 
  9. ^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
  10. ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] 
  11. ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] 
  12. ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. 

外部链接

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