库默尔定理
定理
例子
要计算 ,写出 和 的二进制表示 和 。进行二进制加法 需要进位三次。 故 中 2 的次数是 3。
求具有下述性质的所有整数 :存在无穷多个正整数 ,使得 不整除 。[1]
解 ∵ ,
∴ 是整数,
∴ 对任意正整数 成立,从而 1 不满足要求.
当 时,取 ( 为奇素数, ),满足要求.
当 时,取 的一个素因子 ,选取正整数 使得 ,令 ,我们证明: 不整除 .
最多进位 次. 由库默尔定理, ,
∵ ,∴ 不整除 .
从而存在无穷多个 满足要求.
综上, 是任意不为1的整数.
证明
将组合数 写成 根据勒让德定理,它所含 的幂次数为 等于 在 进制表示下,截去末 位得到的数,因此 最后对 求和,就是 在 进制下的进位次数。
多项系数的一般化
库默尔定理,可以推广到 多项系数 :
将 以 为基底写做 和定义 是 基底的数位和。 则
.
参见
参考文献
- Kummer, Ernst. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.
- ^ 刘培杰; 张佳. 库默尔定理——从一道IMO预选题谈起. d.wanfangdata.com.cn. [2022-03-08]. doi:10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004. (原始内容存档于2022-06-12).
- ^ 存档副本. [2020-07-31]. (原始内容存档于2021-04-18).