定常系统

经典力学里,如果一个系统的所有约束都是定常约束(scleronomous constraint),则称此系统为定常系统(scleronomous system)。定常约束显性地不含时间。假若约束显性地含时间,则称此约束为非定常约束

应用

主要项目:广义速度

在三维空间里,一个质量为 、速度为 的粒子的动能

 

速度是位置 对于时间 的导数。应用偏微分连锁律,可以得到

 

其中, 是第 个广义坐标, 是对应的广义速度。

所以,

 

将方程展开[1],动能可以分为三个项目表示:

 

其中,

 
 
 

   分别为广义速度 的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统,位置不显性地含时间, ,则只有 不等于零。所以, ,动能是广义速度的2次齐次函数。

实例1:单摆

 
单摆

如右图所示,单摆是由一个摆锤与一条绳子组成的简单机械;绳子的上端固定,下端系着摆锤。由于这绳子是无法伸缩的,绳子的长度是常数。所以,这系统是定常系统;它遵守定常约束

 

其中, 是摆锤的位置, 是摆长。

实例2:受驱摆

 
单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动。

参考右图,假设一个单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动:

 

这里, 振幅 角频率 时间

由于无法伸缩绳子的长度是常数,摆锤与绳子上端的直线距离保持不变。但是,因为单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动,这个受驱摆系统是非定常系统;它遵守非定常约束

 

参阅

参考文献

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 (英语).