史特芬十四面体

史特芬十四面体是一种弹性多面体,由克劳斯·史特芬德语Klaus Steffen于1978年发现[1][2]:244-247[3]。这种多面体基于布里卡尔八面体但没有自相交的[4]。这个多面体一共有14个三角形,是最简单的由非相交面组成的弹性多面体[5]其遵循强风箱猜想(strong bellows conjecture),这意味着其登不变量英语Dehn invariant在形变过程皆保持不变。[6]

史特芬十四面体
史特芬十四面体
可局部活动的史特芬十四面体
类别弹性多面体
对偶多面体(未知)
性质
14
21
顶点9
欧拉特征数F=14, E=21, V=9 (χ=2)
组成与布局
面的种类14个三角形
特性
弹性
图像

展开图

性质

史特芬十四面体由14个、21条和9个顶点组成。其6个面又可以分成2个子群:来自布里卡尔八面体的6个三角形组,以及将这些三角形组拼起来的另外两个三角形。[7]

顶点座标

史特芬十四面体的顶点座标为:[8]

 
 
 
 

其中  可透过下列方程组得出:[8]

 

   皆是未知数,其可由下列方程组得出:[8]

 

  亦是未知数,分别可由下列两组方程组得出:[8]

 
 

构成史特芬十四面体的14个三角形分别为              [8]

体积

根据风箱定理[9]多面体体积必为多项式的根,多项式的系数仅取决于多面体的边长。由于边长不会随着多面体的变形过程改变,因此体积必须保持在多项式的有限个根之一,而不会连续变化[10],因此史特芬十四面体在不同的变化状态下体积皆保持不变。以上述顶点座标描述的史特芬十四面体为例,虽然其有不少顶点是可变的值,其在所有变化状态下的体积皆为定值,其值约为200.777立方单位。[8]:6

参见

参考文献

  1. ^ Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. (原始内容存档 (PDF)于2020-02-15). 
  2. ^ Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059. 
  3. ^ Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637. 
  4. ^ Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A.英语David A. Klarner (编), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10 .
  5. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
  6. ^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7 .
  7. ^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, (原始内容存档于2017-03-03) .
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. (原始内容存档 (PDF)于2021-10-06). 
  9. ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068 
  10. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 

外部链接