古德斯坦定理

定理

古德斯坦定理数理逻辑中的一个关于自然数的叙述,是在 1944 年由鲁本·古德斯坦所证明。其主要是在说明“古德斯坦序列”最终会结束于 0 。柯比和柏丽斯[1] 证明它在皮亚诺算术中是不可证明的(但它可以在一个更强的系统如二阶算术中被证明)。这是继哥德尔不完备定理构造的命题()和 1943 年格哈德·根岑直接证明皮亚诺算术中 ε0-induction 不可被证明之后,第三个(对自然数为真的)命题被证明在皮亚诺算术中不可证明。之后的例子是柏丽斯–哈灵顿定理

劳伦斯·柯比和杰夫·柏丽斯介绍了一个图论中的九头蛇游戏,其行为类似古德斯坦序列:“九头蛇”是一棵有根的树,而序列每一步是砍掉它的一颗头(即树的分支),然后九头蛇则对应地会依据某些规则来增加有限数量的头。柯比和柏丽斯则证明,不管赫拉克勒斯使用何种策略来砍头,九头蛇最终会被斩杀(尽管这个过程可能会非常漫长)。如古德斯坦序列,柯比和柏丽斯证明其在皮亚诺算术中是不可证明的[1]

n为基底的瓜瓞式基底表示法

古德斯坦序列是由一种“以n为基底的瓜瓞式表示法”的概念来定义的。这个表示法与平常的 n 进位制表示法很像,但一般的进位表示法无法达到古德斯坦定理的目的。在原本的 n 进位表示法,n 是一个大于 1 的自然数,而任一个自然数 m 则被改写为一些由 n 的幂次的乘积的相加之和:

 

其中,每个系数 ai 满足0 ≤ ai < n,且ak ≠ 0。如在 2 进位中,

 

所以, 35 的二进制是 100011(25 + 2 + 1)。类似地,由 3 进位表示的 100 是 10201:

 

然而需注意的是,这些指数仍非是基于 n 的表述法。如上述表示式中的 25 和 34

将一个 n 进位表示转换为瓜瓞式n基底表示法,首先要将每个指数改为 n 基底表示法。然后改写指数中的指数,持续这个动作直到每个数都被改为以 n 为基底表示法。

譬如, 2 进位的 35 为 100011 ,将它改写成以 n 为基底的瓜瓞式表示法为:

 

(5 = 22 + 1.) 。类似的,以3为基底的瓜瓞式表示法的 100 为

 

古德斯坦序列

古德斯坦序列 G(m) 是一个自然数的序列。第一项为 m 本身。第二项则是先将 m 以 2 为基底得出其的瓜瓞式表示法,再将所有的 2 改为 3,再减去 1。更一般地,第 (n + 1) 项的 G(m)(n + 1) 为:

  • G(m)(n) 转为以 n + 1 为基底的瓜瓞式表示法。
  • 将所有的 n + 1 改为 n + 2
  • 减 1。
  • 重复这个过程,直到结果为 0 则停止。

前几个古德斯坦序列会很快地终止,如 G(3) 结束于第 6 步:

基底 瓜瓞式表示法 注记
2   3 以 2 为基底改写 3。
3   3 将 2 改为 3,再减 1。
4   3 将 3 改为 4,再减 1。此时已无任何 4 了。
5   2 没有 4 需要改为 5。单纯减 1。
6   1 没有 5 需要改为 6。单纯减 1。
7   0 没有 6 需要改为 7。单纯减 1。

之后的古德斯坦序列则成长到很庞大的数字,如 G(4) A056193 开始如下:

瓜瓞式表示法
  4
  26
  41
  60
  83
  109
   
  253
  299
   
  1151

G(4) 会一直递增,直到基底为   时,会达到最大值   ,并在这里停留   步后,然后开始递减。

这个序列到达 0 时,当时的基底为  。(有趣的是,这是个胡道尔数 。而且,对于所有起始值大于 4 的数,都是如此。[来源请求]

不过,G(4) 仍无法很好地展示古德斯坦序列的项数是如何快速地成长。G(19) 成长更迅速,其开头几项如下:

瓜瓞式表示法
  19
  7625597484990
   
   
   
   

         

 

         

 
   

尽管其成长如此迅速,古德斯坦定理说明了无论起始值为何,每个古德斯坦最终会终止于 0

证明

古德斯坦定理的证明(需要使用皮亚诺算术以外的技巧)如下: 对于每个给定的古德斯坦序列 G(m) ,我们可以建造一个由序数所组成的平行序列 P(m) ,而且是严格递减和终止。所以G(m) 也必将停止,并且它只在达到 0 时才会终止。

对这个证明的常见的误解在于认 G(m) 达到 0 是“因为”它被 P(m) 所支配。事实是,P(m) 对支配 G(m) 毫无作用。其重点在于: G(m)(k) 存在当且仅当 P(m)(k) 存在。于是,如果 P(m) 终止,则 G(m) 也如此。而 G(m) 只有在到逹 0 时才会终止。

我们可以定义函数 f(x),将 x 改为以k为基底的表示法,并将每个 k 换成第一个无穷序数 ω。 而序列 P(m) 中的每一项 P(m)(n) 则定义为 f(G(m)(n),n+1)。譬如,G(3)(1) = 3 = 21 + 20P(3)(1) = f(21 + 20,2) = ω1 + ω0 = ω + 1 。序数的加法、乘法和指数都是良好定义的。

我们可声明   。在古德斯坦序列中,将 G(m)(n) 改换基底后,将其记为   。明显的,  ,现在我们套用 -1 运算后,因为  ,所以  

譬如,   ,所以    是严格变小。需注意的是,若要计算 f(G(m)(n),n+1) ,我们要先将 G(m)(n) 改为以 n+1 为基底的表示法。所以如   等的表示式,既不会是无意义的也非等同  

P(m) 是严格递减的。而标准排序算子 < 在序数上是良基关系,一个无穷的严格递减序列是不可能存在的。换句话说,每个严格递减的序数序列会停止(不可能无限)。但P(m)(n) 是由 G(m)(n) 计算出来的。 G(m)(n) 也必然停止,这意味着它会达到 0 。

虽然这个证明相当简单,但柯比-柏丽斯定理[1] (证明了在皮亚诺算术中不会有古德斯坦定理)则是非常专门且相当困难。它使用了皮亚诺算术中的可数非标准模型英语Non-standard model of arithmetic

扩展的古德斯坦定理

假设古德斯坦定理的定义中的“将b改为b+1”的这个动作,将它改为 b+2,那么这个序列会终止吗? 更一般地,让 b1, b2, b3, … 为任意整数列,然后让第 n+1 项的 G(m)(n+1) 变成: 将 G(m)(n) 改为 bn 的表示法,将 bn 改为 bn+1 再减 1 。 我们仍可断言这个序列仍会终止。 扩展的证明则将 P(m)(n) = f(G(m)(n), n) 定义为如下: 将 G(m)(n) 改为 bn 表示法,再将所有的 bn 改为第一个无限序数 ω。 古德斯坦序列中,从G(m)(n)到G(m)(n+1)的换底运算并不会改变 f 的值。 譬如,如果 bn = 4bn+1 = 9, 则  。因此,序数   是 严格大于序数  

起始点为变量的序列长度函数

古德斯坦函数   定义为由 n 为起始值的古德斯坦序列的长度。因为古德斯坦序列会终止,所以这是一个完全函数。要测定   的快速成长,可由多种借由标准基于序数体系中的函数,如Hardy hierarchy英语Hardy hierarchy 中的   函数,和 Löb and Wainer 的 高成长体系英语fast-growing hierarchy   函数。

  • Kirby and Paris (1982) 证明
  有着和   近似的成长速度(等同于  ); 更精确地说,对每个    控制  ,且   控制  
(对两个函数  ,我们说   控制   是指,如果对于所有足够大的   ,都有  。)
  • Cichon (1983) 证明
 
其中   是将 n 改为以 2 为基底的瓜瓞式表示法,并将所有 2 改为 ω 的结果(即古德斯坦定理的证明中所做的事)。
  • Caicedo (2007) 证明如果   且有   then
 .

一些例子如下:

n  
1         2
2         4
3         6
4         3·2402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10121210694
5         > A(4,4)> 
6         > A(6,6)
7         > A(8,8)
8         > A3(3,3) = A(A(61, 61), A(61, 61))
 
12         > fω+1(64) > 葛立恒数
 
19        

(对于阿克曼函数葛立恒数的界限,请参考高成长体系英语fast-growing hierarchy#Functions in fast-growing hierarchies。)

可计算函数的应用

古德斯坦定理可用于构造一个全可计算函数,但皮亚诺算术却不能证明它是全函数。图灵机可以有效地列举古德斯坦序列;所以存在一个特殊的图灵机来计算古德斯坦函数。这个图灵机只需列举出 n 的古德斯坦序列,并在遇到 0 时结束,并传回其长度。因为每个古德斯坦序列终将结束,所以这个函数是完全的。但因为皮亚诺算术不能证明古德斯坦序列会终止,皮亚诺算术不能证明这个图灵机计算了一个完全函数。

另见

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Kirby, L.; Paris, J. Accessible Independence Results for Peano Arithmetic (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 1982, 14 (4): 285 [2019-02-20]. CiteSeerX 10.1.1.107.3303 . doi:10.1112/blms/14.4.285. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-16). 

Bibliography

外部链接