一般线性模型
一般线性模型(general linear model, multivariate regression model)是一个统计学上常见的线性模型。这个模型在计量经济学的应用中十分重要。不要与多元线性回归,广义线性模型或一般线性方法相混淆。
其公式一般写为:
其中Y是一个包含反应变量的矩阵。X是一个包含独立自变量的设计矩阵。B是一个包含多个估计参数的矩阵。U 是一个包含误差和剩余项的矩阵。通常假设误差在测量之间是不相关的,并遵循多元常态分布。如果误差不遵循多元常态分布,则可以使用广义线性模型来放宽关于Y和U的假设。
一般线性模型包含许多不同的统计模型:ANOVA,ANCOVA,MANOVA,MANCOVA,普通线性回归,t检验和F检验。一般线性模型是对多于一个因变量的情况的多元线性回归的推广。如果Y,B和U是列向量,则上面的矩阵方程将表示多元线性回归。
使用一般线性模型的假设检验可以通过两种方式进行:多变量或多个独立的单变量检验。在多变量测试中,Y的列一起测试,而在单变量测试中,Y列独立地测试,即作为具有相同设计矩阵的多个单变量测试。
多元线性回归
多元线性回归是简单线性回归到多个自变量的概括,以及一般线性模型的特例,仅限于一个因变量。多元线性回归的基本模型是
对于每个观察值,i = 1,...,n。
在上面的公式中,我们考虑 n 个观察一个因变量和 p 个独立变量。因此, 是因变量的第 i 个观察值, 是对第 j 个自变量的第 i 个观察值,j = 1,2,...,p。值 表示参数进行估计,并且 是第 i 个独立同分布正常的错误。
在更一般的多元线性回归中,对于 m > 1 个因变量中的每一个,存在上述形式的一个等式,其共享相同的解释变量集并因此彼此同时估计:
观察值 i = 1,...,n,因变量 j = 1,..., m。
应用
一般线性模型的应用出现在科学实验的多脑扫描分析中,其中Y包含来自脑扫描仪的数据,X包含实验设计变量和混淆值。 它通常以单变量方式进行测试(在此设置中通常称为质量单变量),通常称为统计参数映射[1]。
注释
- ^ Statistical parametric mapping. Wikipedia. 2018-08-11 (英语).
参考文献
- Christensen, Ronald. Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models Third. New York: Springer. 2002. ISBN 0-387-95361-2.
- Wichura, Michael J. The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. 2006: xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455.
- Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A. (编). Applied Regression Analysis. Springer Texts in Statistics. 1998. ISBN 0-387-98454-2. doi:10.1007/b98890.