屬性
歸一化 sinc 函數的特性使得它在插值與帶限函數中得到理想應用:
- 對於 與 (整數), 和 ;也就是說,它是一個插值函數。
- 函數 在函數空間 形成一個帶限函數的正交基,它的最大角頻率是 ,也就是說最大的循環頻率是 。
這兩個 sinc 函數的其它特性包括:
- 非歸一化 sinc 函數 ;對應於它與餘弦函數的交點。也就是說,如果 的導數是 0 ,即在 有極值,那麼 。
- 非歸一化 sinc 是第一類零階球貝索函數 。歸一化 sinc 是 。
- 非歸一化 sinc 的過零點是 的非零倍數;歸一化 sinc 函數 的過零點出現在非零整數。
- 歸一化 sinc 函數 的對於普通頻率的連續傅里葉變換是 。
- ,
- 其中矩形函數在 –1/2 到 1/2 之間值為 1,在其它區域值為 0。
-
- 是廣義積分。因為:
-
所以它不是勒貝格積分。
-
-
- 其中 是 Γ函數。
與狄拉克δ分佈的關係
儘管不是分佈,歸一化 sinc 函數也可以作為 nascent δ函數(參見狄拉克δ函數)使用。
歸一化 sinc 函數通過下式與δ分佈 δ(x) 發生聯繫
-
由於等式左側並不收斂,所以這不是普通的 limit,而是說明對於任意的緊支撐平滑函數 有
-
在上面的表達式中,隨着 a 趨近於 0,sinc 函數每個單元長度上的振動次數趨近於無限,然而不管 a 是什麼值,這個表示通常在 ±1/(πx) 內振動。這與 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,這表明了將δ函數作為函數而不是分佈帶來的問題。在吉布斯現象(Gibbs phenomenon)中也有類似的狀況。
參見
參考文獻
外部連結