高斯引理 (多項式)

代數學中 ,高斯引理[1]高斯命名,是關於系數多項式的命題,或者更一般地說,是關於一個唯一分解整環的敘述。

高斯的引理斷言兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式(本原多項式是指:系數的最大公因數為1的整系數多項式)。

高斯引理有一個推論,有時也被稱為高斯引理。其斷定一個本原多項式在整數上是不可約的 ,若且唯若它在有理數上是不可約的。

整系數多項式版本

當一個整系數多項式  的系數的最大公因數是1,我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理:

高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

證明:

以下以反證法證明。

設整系數多項式 都是本原的,並反設 不是本原多項式。

於是 是非本原的整系數多項式,因此可選整除 所有系數的質數 

 皆是本原的,從而可分別選定 為滿足 的最小整數。現在我們知道  項系數是

 

根據假設,該項系數應該被 整除,矛盾,故得證。

高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整系數多項式在有理系數多項式環 內可約,則他在整系數多項式環 內也可約。

證明:

 是一在 內可約的非常數整系數多項式。於是可取兩個非常數的有理系數多項式 使得 

透過適當選取整數 ,可以假設 皆是本原多項式(當然也就是整系數多項式)。

由上一個引理, 也是本原多項式。於是  的系數的最大公因數,故 是個整數。

現在,我們有  是整數,於是也就證明了  內也可約。

參考資料

  1. ^ Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)