阿達馬伽瑪函數

數學中,阿達馬伽瑪函數阿達馬的伽瑪函數(Hadamard's gamma function)是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式,以雅克·阿達馬命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1,並且在階乘的非整數部分插值,但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為:

阿達馬伽瑪函數
一般Γ函數與阿達馬Γ函數
Γ函數(藍色)、阿達馬Γ函數(橘色),其值在正整數時相同

其中,Γ(x)是一般的伽瑪函數。若n正整數,則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等:

性質

阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同,阿達馬伽瑪函數沒有奇點,是一個完全連續的函數,並且滿足下面等式:

 

其中  趨近正整數時趨近為0。

   
阿達馬伽瑪函數 一般伽瑪函數
複變函數圖形
       
       
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數的關係

由左至右分別為兩函數的差、兩函數之差的自然對數、兩函數之差的絕對值以及兩函數之比。

絕對值越小顏色越深,紅色是正實數、水藍色是負實數

可以看到在正整數的上兩函數相等。

其他表示法

阿達馬伽瑪函數可以用雙伽瑪函數表示:

 
 

其中,ψ(x)表示雙伽瑪函數

參考文獻

  1. Hadamard, M. J., Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894 [2018-11-25], (原始內容存檔 (PDF)於2021-02-25) (法語) 
  2. Srivastava, H. M.; Junesang, Choi. Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. 2012: 124. ISBN 0123852188. 
  3. Introduction to the Gamma Function. The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. [27 February 2016]. (原始內容存檔於2021-05-07).