數學中,重心坐標是由單形(如三角形或四面體等)頂點定義的坐標。重心坐標是齊次坐標的一種。
設v1, ..., vn是向量空間V中一個單形的頂點,如果V中某點p滿足,
![{\displaystyle (\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda _{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def2bfb7b20fc81c73421c2c5cd28b70f0a8fbbd)
那麼我們稱係數(λ1, ..., λn)是 p關於v1, ..., vn的重心坐標。這些頂點自己的坐標分別是(1, 0, 0, ..., 0),(0, 1, 0, ..., 0), ...,(0, 0, 0, ..., 1)。重心坐標不是惟一的:對任何不等於零的k,(k λ1, ..., k λn)也是p的重心坐標。但總可以取坐標滿足
λ1 + ...+ λn = 1,稱為正規化坐標。注意到定義式在仿射變換下不變,故重心坐標具有仿射不變性。
如果坐標分量都非負,則p在v1, ..., vn的凸包內部,即由這些頂點組成的單形包含p。我們設想如果有質量λ1, ..., λn分別位於單形的頂點,那麼質量中心就是p。這是術語「重心」的起源,1827年由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯最初引入。
三角形的重心坐標
在三角形情形中,重心坐標也叫面積坐標,因為P點關於三角形ABC的重心坐標和三角形PBC, PCA及PAB的(有向)面積成比例,證明如下(如右圖所示)。
我們用黑體小寫字母表示對應點的向量,比如三角形ABC頂點為 和 ,P點為 等。設PBC, PCA及PAB面積之比為 且 ,設射線AP與BC交於D,則
- 從而
- ,故
-
-
所以, 就是P的重心坐標。
坐標變換
給定三角形平面一點P,我們將這一點的面積坐標 , 和 用笛卡爾坐標表示出來。
利用笛卡爾坐標中的三角形面積公式:
-
我們可得:
-
類似地有 ,注意ABC構成一個三角形,上式的分母不可能為0。
反過來則簡單得多:
- 故
- 和
-
判斷一點的位置
因重心坐標是笛卡爾坐標的一個線性變換,從而它們在邊和三角形區域之間的變化是線性的。如果點在三角形內部,那麼所有重心坐標屬於開區間 ;如果一點在三角形的邊上,至少有一個面積坐標 為0,其餘分量位於閉區間 。如果有某個坐標小於0,則位於三角形外部,具體分佈可參考上圖。
圖示中,B和C頂端的坐標正負反了,B的應該是(-,+,-),C的是(-,-,+)
應用
面積坐標在涉及到三角形子區域的工程學問題時特別有用,經常可以化簡解析積分求值,高斯積分法表也常以面積坐標的形式給出。
考慮由頂點 , 和 定義的三角形T,任何在三角形內部的點 都能寫成頂點的加權和:
-
這裏 、 和 是面積坐標。注意到 。從而,函數 在T上的積分為:
-
這裏S是三角形T的面積。注意上式具有線性插值的形式。
重心坐標提供了一種非結構網格上函數插值的方法,假設函數值在所有網格的頂點上已知。如果 ,則點 位於三角形內部或邊界上。我們取 的插值為
-
這個線性插值是自動正規的因為 。
四面體的重心坐標
重心坐標容易推廣到三維空間。3維單形即四面體,具有四個三角形面和四個頂點。
完全類似於三角形,四面體 的頂點 的重心坐標為(1,0,0,0), 為(0,1,0,0),如是等等。
點 的笛卡爾坐標和為關於四面體 的重心坐標的關係:
-
這裏 為 組成的四面體的體積,類似於三角形也可以用笛卡爾坐標的一個行列式表示出來。
3維重心坐標和2維一樣,可以確定一點是否位於四面體內部,也能對四面體網格上函數插值。因為利用重心坐標可以極大地簡化3維插值,四面體網格經常用於有限元分析。
參考文獻
外部連結