逆散射變換

逆散射變換是求解某些非線性偏微分方程的一種方法,在某種意義上是傅里葉變換的非線性推廣。這種方法的核心思想是,從散射數據的演變中恢復勢的演變:逆散射指的是從散射矩陣中恢復勢的問題。

逆散射變換可用於許多所謂「完全可解模型」,即完全可積的無限維系統。

概述

逆散射變換首先由Clifford S. Gardner, John M. Greene, and Martin D. Kruskal et al. (1967, 1974提出,用於求解KdV方程,並很快擴展到非線性薛定諤方程正弦-戈爾登方程戶田晶格方程。後來也用於求解KP方程石森方程迪姆方程等等。博格莫尼方程(對於給定的規範群與定向黎曼3流形)提供了一族例子,其 解是磁單極子。 用逆散射法得到的解有一個特點,就是存在孤波,是類似於粒子又類似於波的解,線性偏微分方程中沒有這種解。「孤波」是非線性光學的概念。 逆散射問題可以寫作黎曼–希爾伯特分解問題,至少在一個空間維度的方程中是這樣。這種表述可以推廣到多階微分算子和周期勢。 在更高的空間維度中,會遇到「非局部」黎曼–希爾伯特分解問題(用卷積代替乘法)或Dbar問題

例子:KdV方程

KdV方程是非線性分散演化偏微分方程,涉及有兩個變量(空間變量x與時間變量t)的函數u

 

其中  分別表示關於tx偏導數

 x的已知函數,要解初值問題,可將薛定諤特徵方程

 

與這個方程聯繫起來,其中 tx的未知函數,u是KdV方程的解,除了在 時未知。常數 是一個特徵值。

根據薛定諤方程,可得

 

將其代入KdV方程並積分,得到

 

其中CD為常數。

解法

Step 1. 確定非線性偏微分方程。這通常是通過分析所研究的物理實現的。

Step 2. 應用正向散射。關鍵是找到Lax 對,Lax 對由兩個線性算子  組成,即  。極為重要的是,特徵值 與時間無關,即 實現這一點的必要條件與充分條件如下:取 的時間導數,得到

 

 插入 ,得到

 

重排最右側的項,得到

 

因此,

 

由於 ,這意味着 若且唯若

 

這是Lax方程,當中  的時間導數,明確地依賴於 。之所以這樣定義微分,是因為 的最簡單實例,即薛定諤算子(參薛定諤方程):

 

其中u是「勢」。比較表達式  ,可以發現 因此可以忽略第一項。

擬合出適當的Lax對後,Lax方程應可恢復原來的非線性PDE。

Step 3. 確定與每個特徵值 相關的特徵函數、規範常數與反射係數的時間演化,它們構成所謂散射數據。演化由線性常微分方程給出,可以求解。

Step 4. 通過求解馬琴科方程[1][2]這一線性積分方程,進行逆散射,從而獲得原非線性PDE的最終解。為此,需要所有散射數據。若反射係數為零,過程會簡單很多。若 是一階微分或二階差分,這步就會起作用,但對高階算子則不一定。不過,在所有情況下,逆散射問題都可以簡化為黎曼–希爾伯特問分解問題。(兩種方法見於Ablowitz-Clarkson (1991)。數學上的嚴格處理方法參Marchenko (1986)。)

可積方程的例子

另見

參考文獻

  1. ^ Gel』fand, I. M. & Levitan, B. M., "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955.
  2. ^ V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.

閱讀更多

  • M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Philadelphia, 1981.
  • N. Asano, Y. Kato, Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations, Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990.
  • M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
  • Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Method for Solving the Korteweg-deVries Equation, Physical Review Letters, 1967, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095 
  • Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution., Comm. Pure Appl. Math., 1974, 27: 97–133, MR 0336122, doi:10.1002/cpa.3160270108 
  • V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.
  • J. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, SIAM, Philadelphia, 2004.
  • Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

外部連結