輔助統計量

在統計學中， 輔助統計量是任何其分佈不取決於模型參數的統計量。 ^[1]

定義

設 $P_{\theta }$ 是一概率模型，其中 $\theta$ 是參數。若對於來自樣本的數據 $\mathbf {Y}$ ，統計量 $T(\mathbf {Y} )$ 的分佈不依賴於 $\theta$ ，則稱 $T(\mathbf {Y} )$ 是關於 $\theta$ 的輔助統計量。這即是說，對於任何博雷爾集 $A$ ，有 $P_{\theta }(T(\mathbf {Y} )\in A)=\mu (A)$ ，其中 $\mu (\cdot )$ 是不依賴於 $\theta$ 的概率測度。

例子

常數

很明顯，常數是最簡單的輔助統計量。

均值未知的正態分佈的樣本方差

對於正態分佈模型 $\{N(\mu ,\sigma ^{2})|\mu \in \mathbb {R} \}$ ，其中方差 $\sigma ^{2}$ 已知，可以證明（在 $n>1$ 時）樣本方差 ${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}$ 是 $\mu$ 的輔助統計量。實際上，樣本方差的分佈為比例卡方分佈 $\sigma ^{2}\cdot \chi _{n-1}^{2}$ ，不依賴於 $\mu$ 。