數學 上所謂的自守式 （英語：Automorphic form ），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子 描述之變換規律。模形式 與馬斯形式 是其特例。由自守式可定義自守表示 ，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示 ，而是整體赫克代數 上的模。
龐加萊 在1880年代曾研究過自守式，他稱之為富克斯函數 。郎蘭茲綱領 探討自守表示與數論 的深入聯繫。
自守式另有群表示理論 的詮釋，並牽涉數論 ，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設
G
=
G
L
(
n
)
{\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}
G
m
{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}
考慮大域體
F
{\displaystyle F}
F
=
Q
{\displaystyle F=\mathbb {Q} }
G
{\displaystyle G}
阿代爾點
G
(
A
F
)
{\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}
拓撲結構 ，並取定標準的緊子群
K
{\displaystyle K}
固定一擬特徵
ω
:
F
×
∖
A
F
×
→
C
×
{\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}
ω
{\displaystyle \omega }
中心特徵 的自守式定為
G
(
F
)
∖
G
(
A
F
)
{\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
函數域 ，這代表
f
{\displaystyle f}
G
(
A
F
)
{\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}
開覆蓋
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
h
∈
U
∈
U
{\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}
f
(
h
)
=
f
U
(
h
∞
)
{\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}
f
U
{\displaystyle f_{U}}
對任何
z
∈
A
F
{\displaystyle z\in \mathbb {A} _{F}}
h
{\displaystyle h}
f
(
z
⋅
h
)
=
ω
(
z
)
f
(
h
)
{\displaystyle f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)}
f
{\displaystyle f}
K
{\displaystyle K}
f
(
⋅
k
)
(
k
∈
K
)
{\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)}
承上，設
Z
v
{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}
泛包絡代數
U
(
g
l
(
n
,
F
v
)
)
{\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))}
f
{\displaystyle f}
Z
v
{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}
緩增性：固定適當的高度函數
‖
⋅
‖
:
G
(
A
F
)
→
R
>
0
{\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}
C
{\displaystyle C}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
|
f
(
g
)
|
≤
C
‖
g
‖
N
{\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}
註記. 若
v
{\displaystyle v}
F
{\displaystyle F}
阿基米德賦值 ，條件二中張出的空間在李代數
g
l
(
n
,
F
v
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})}
f
↦
X
f
{\displaystyle f\mapsto Xf}
解析函數 。
若對所有
r
+
s
=
n
(
0
<
r
,
s
<
n
)
{\displaystyle r+s=n\,(0<r,s<n)}
∫
M
r
,
s
(
F
)
∖
M
r
,
s
(
A
F
)
f
(
I
r
X
0
I
s
)
d
X
=
0
{\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0}
則稱
f
{\displaystyle f}
尖點形式 。
定義
A
(
G
(
F
)
∖
G
(
A
F
)
,
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}
ω
{\displaystyle \omega }
A
0
(
G
(
F
)
∖
G
(
A
F
)
,
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}
這兩個空間是有限 阿代爾群
G
(
A
f
i
n
)
{\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })}
(
g
,
K
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}
整體赫克代數
H
G
(
A
F
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}
G
(
A
)
{\displaystyle G(\mathbb {A} )}
一個自守表示 是
H
G
(
A
F
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}
A
(
G
(
F
)
∖
G
(
A
F
)
,
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}
子商 ，
ω
{\displaystyle \omega }
尖點自守表示 是
A
0
(
G
(
F
)
∖
G
(
A
F
)
,
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}
A.N. Parshin, Automorphic Form , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition , (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics ), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations , (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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