災難性抵消

數值分析中,災難性抵消(英語:catastrophic cancellation[1][2]是指兩個大小相近的數值的近似值相減,得到的差值可能和原始數值相減得到的真實的差值有很大差異,因而近似值的差值不能用作真實值差值的近似值。

例如,如果有兩個螺柱,一個長,另一個長,用厘米刻度的尺子測量其長度,得到的近似值為。在相對誤差方面,它們是真實長度的良好的近似值:近似值的誤差小於真實長度的2%,即

但是,如果用這些近似長度相減,則差值為,而長度之間的真實差值是。用近似值算出的差,和用真實值算出的差相比,偏離了100%。

即使差值計算本身是精確的,災難性抵消仍然有可能發生,如上例所示——它不是哪種類型的運算(如浮點運算)的屬性;當輸入值本身是近似值時,進行減法運算就必有災難性抵消。實際上,根據Sterbenz引理英語Sterbenz lemma,浮點運算中,當輸入值足夠接近時,浮點差可以精確計算——浮點減法運算本身並未引入捨入誤差

形式分析

形式上,發生災難性抵消是因為減法運算對鄰近數值的輸入是病態的:即使近似值  與真實值   相比,相對誤差  不大,近似值差 的與真實值差相對誤差也會與真實值差 成反比:

 

因此,兩個近似值的精確差值 與真實數字差值 的相對誤差為:

 

如果真實輸入  很接近,結果可能會非常大。

參考文獻

  1. ^ Muller, Jean-Michel; Brunie, Nicolas; de Dinechin, Florent; Jeannerod, Claude-Pierre; Joldes, Mioara; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Torres, Serge. Handbook of Floating-Point Arithmetic 2nd. Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland: Birkhäuser. 2018: 102 [2022-06-10]. ISBN 978-3-319-76525-9. doi:10.1007/978-3-319-76526-6. (原始內容存檔於2023-04-28). 
  2. ^ Goldberg, David. What every computer scientist should know about floating-point arithmetic. ACM Computing Surveys (New York, NY, United States: Association for Computing Machinery). March 1991, 23 (1): 5–48 [2020-09-17]. ISSN 0360-0300. S2CID 222008826. doi:10.1145/103162.103163. (原始內容存檔於2019-03-09).