水仙花數

在數論中，水仙花數（Narcissistic number）^[1]^[2]，也被稱為超完全數字不變數（pluperfect digital invariant, PPDI）^[3]、自戀數、自冪數、阿姆斯壯數或阿姆斯特朗數（Armstrong number）^[4] ，用來描述一個N位非負整數，其各位數字的N次方和等於該數本身。

水仙花數的定義

設有自然數n，d為該自然數各位數字，即 n = d_kd_k-1...d₁ ，則有：

n = d_k·10^k-1 + d_k-1·10^k-2 + ... + d₂·10 + d₁,

如果該自然數n滿足條件：

n = d_k^k + d_k-1^k + ... + d₂^k + d₁^k.

則這個自然數就被稱為超完全數字不變數。例如153、370、371及407就是三位超完全數字不變數，其各個數之立方和等於該數：

153 = 1³ + 5³ + 3³。

370 = 3³ + 7³ + 0³。

371 = 3³ + 7³ + 1³。

407 = 4³ + 0³ + 7³。

若將條件放寬，一個N位數，其各個數之M次方和等於該數，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant）^[5]^[2]，例如數字4150等於各位數字的5次方。

4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵,

水仙花數一定是完全數字不變數，但完全數字不變數不一定是水仙花數。嚴格意義來說水仙花數指三位數。

部分水仙花數

十進制下的水仙花數

十進制的水仙花數共有89個，最大的是

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位數。^[6]

完整的十進制水仙花數列表如下：（OEIS數列A005188）

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
24678051
88593477
146511208
472335975
534494836
912985153
4679307774
32164049650
32164049651
40028394225
42678290603
44708635679
49388550606
82693916578
94204591914
28116440335967
4338281769391370
4338281769391371
21897142587612075
35641594208964132
35875699062250035
1517841543307505039
3289582984443187032
4498128791164624869
4929273885928088826
63105425988599693916
128468643043731391252
449177399146038697307
21887696841122916288858
27879694893054074471405
27907865009977052567814
28361281321319229463398
35452590104031691935943
174088005938065293023722
188451485447897896036875
239313664430041569350093
1550475334214501539088894
1553242162893771850669378
3706907995955475988644380
3706907995955475988644381
4422095118095899619457938
121204998563613372405438066
121270696006801314328439376
128851796696487777842012787
174650464499531377631639254
177265453171792792366489765
14607640612971980372614873089
19008174136254279995012734740
19008174136254279995012734741
23866716435523975980390369295
1145037275765491025924292050346
1927890457142960697580636236639
2309092682616190307509695338915
17333509997782249308725103962772
186709961001538790100634132976990
186709961001538790100634132976991
1122763285329372541592822900204593
12639369517103790328947807201478392
12679937780272278566303885594196922
1219167219625434121569735803609966019
12815792078366059955099770545296129367
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401

十二進制下的水仙花數

（OEIS數列A161949）

25:2²+5²=25

A5:A²+5²=A5

577:5³+7³+7³=577

668:6³+6³+8³=668

A83:A³+8³+3³=A83

14765:1⁵+4⁵+7⁵+6⁵+5⁵=14765

938A4:9⁵+3⁵+8⁵+A⁵+4⁵=938A4

顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。

三進制中的這樣的數有：0、1、2、12、122
四進制中的這樣的數有：0、1、2、3、313

參考資料

^ Weisstein, Eric W. (編). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ^2.0 ^2.1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2007-10-10. by Scott Moore
^ PPDI (Armstrong) Numbers by Harvey Heinz
^ Armstrong Numbersl^{[永久失效連結]} by Dik T. Winter
^ PDIs by Harvey Heinz
^ Weisstein, Eric W. (編). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-10]. （原始內容存檔於2018-01-20）（英語）.

Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
Perfect Digital Invariants by Walter Schneider
On a curious property of 3435 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Daan van Berkel

[mw-1] Weisstein, Eric W. (編). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[moore-2] 2.0 ^2.1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2007-10-10. by Scott Moore

[3] PPDI (Armstrong) Numbers by Harvey Heinz

[4] Armstrong Numbersl^{[永久失效連結]} by Dik T. Winter

[5] PDIs by Harvey Heinz

[6] Weisstein, Eric W. (編). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-10]. （原始內容存檔於2018-01-20）（英語）.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]