此條目介紹的是李括號在向量場中的應用。關於其他應用下的李括號,請見「
李代數 」。
向量場中的李括號 ,於微分拓樸 的數學領域下,稱為Jacobi–李括號 或向量場的交換子 ,是在一微分流形 M 中作用在任意兩個向量場 X 與 Y 的算子 ,此一算子作用後也會形成向量場,以[X , Y ] 標示。
李括號 [X , Y ] 在概念上是沿着由X 生成向量流 的Y 微導,常寫為
L
X
Y
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}
("沿着 X 的Y 李微導")。這可以推廣到沿着由X 生成的流上任意張量場 的李導數 。
李括號是個R -雙線性 算子,且將所有在流形M 的光滑 向量體轉成(無限維)李代數 。
李括號在微分幾何 與微分拓樸 中相當重要,例如在作為非線性控制 幾何理論基礎的弗羅貝尼烏斯定理 中就可看到李括號[ 1] 。
定義
李括號有下列三種定義,這三種定義不同,但是等價:
作為微導的向量場
在一流形M 上的所有平滑向量場X 可以視為作用在C ∞ (M )的平滑函數 微分算子 。的確,每個向量場 X 可成為在C ∞ (M ) 上的微分算子 (導子 ),因此可定義 X (f ) 的函數,計算函數在方向X (p )上點p 的f 值方向導數 ,更進一步,於C ∞ (M )的任意微導都是源於唯一的平滑向量場X 。
一般來說,任意兩微導
δ
1
{\displaystyle \delta _{1}}
與
δ
2
{\displaystyle \delta _{2}}
的 交換子
δ
1
∘
δ
2
−
δ
2
∘
δ
1
{\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}
亦是微導,當中
∘
{\displaystyle \circ }
為算子之組合。
f
∈
C
∞
(
M
)
{\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}
能用於定義關乎微導交換子向量場的李括號:
[
X
,
Y
]
(
f
)
=
X
(
Y
(
f
)
)
−
Y
(
X
(
f
)
)
{\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}
.
流與極限
令
Φ
t
X
{\displaystyle \Phi _{t}^{X}}
為關乎向量場 X 的流 及 D 表示切線圖導數算子 (tangent map derivative operator),那麼在點x ∈ M 的 X 與Y 的李括號可以定義為 李導數 :
[
X
,
Y
]
x
=
(
L
X
Y
)
x
:=
lim
t
→
0
(
D
Φ
−
t
X
)
Y
Φ
t
X
(
x
)
−
Y
x
t
=
d
d
t
|
t
=
0
(
D
Φ
−
t
X
)
Y
Φ
t
X
(
x
)
.
{\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}
這也測量了連續方向的failure of the flow
X
,
Y
,
−
X
,
−
Y
{\displaystyle X,Y,-X,-Y}
至點 x :
[
X
,
Y
]
x
=
1
2
d
2
d
t
2
|
t
=
0
(
Φ
−
t
Y
∘
Φ
−
t
X
∘
Φ
t
Y
∘
Φ
t
X
)
(
x
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
Φ
−
t
Y
∘
Φ
−
t
X
∘
Φ
t
Y
∘
Φ
t
X
)
(
x
)
.
{\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}
以坐標表示
雖上述李括號的定義為內在 的(和流形M 上的座標選擇無關),但在實務上常常會想計算特定坐標系
{
x
i
}
{\displaystyle \{x^{i}\}}
下的李氏括號。可以令
∂
i
=
∂
∂
x
i
{\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}
,為切線束的相關局部基底,使得對平滑函數
X
i
,
Y
i
:
M
→
R
{\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }
而言,一般向量場能寫成
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
i
{\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}
與
Y
=
∑
i
=
1
n
Y
i
∂
i
{\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}
。因此李括號可由以下方式計算:
[
X
,
Y
]
:=
∑
i
=
1
n
(
X
(
Y
i
)
−
Y
(
X
i
)
)
∂
i
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
X
j
∂
j
Y
i
−
Y
j
∂
j
X
i
)
∂
i
.
{\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}
若 M 是R n 的某開子集,那麼向量場X 與 Y 可以寫成由平滑函數
X
:
M
→
R
n
{\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}
與
Y
:
M
→
R
n
{\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}
形式,且李括號
[
X
,
Y
]
:
M
→
R
n
{\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}
的表示式如下:
[
X
,
Y
]
:=
J
Y
X
−
J
X
Y
{\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}
此處之
J
Y
{\displaystyle J_{Y}}
與
J
X
{\displaystyle J_{X}}
是 n×n 雅可比矩陣 乘上 n× 1 欄向量 X 與 Y 。
性質
向量場的李括號等同於所有在M (也就是切線束的平滑截
T
M
→
M
{\displaystyle TM\to M}
) 上實向量空間
V
=
Γ
(
T
M
)
{\displaystyle V=\Gamma (TM)}
中的李代數 的結構,表 [ • , • ] 為具以下性質之
V
×
V
→
V
{\displaystyle V\times V\to V}
的映射:
R -雙線性形式
反對稱性 ,
[
X
,
Y
]
=
−
[
Y
,
X
]
{\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}
雅可比恆等式 ,
[
X
,
[
Y
,
Z
]
]
+
[
Z
,
[
X
,
Y
]
]
+
[
Y
,
[
Z
,
X
]
]
=
0.
{\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}
第二性質可馬上推得對任意
X
{\displaystyle X}
,會使具
[
X
,
X
]
=
0
{\displaystyle [X,X]=0}
成立。
更進一步說,李括號具有「乘積法則 」 。 給定一平滑 (純量值) 函數 f 與在M 上的向量場,由每點x ∈ M 的純量乘向量Yx 後可以得到一個新的向量場fY ,如此:
[
X
,
f
Y
]
=
X
(
f
)
Y
+
f
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}
此處用向量場Y 乘上純量函數 X (f ) ,及向量場[X , Y ] 與純量函數 f
如此引導出一具李括號的向量場至李代數 。
若X 與Y 的李括號為零,表示在這些方向可以定義以X 與Y 作為座標向量場而內嵌入於M 之曲面:
定理:
[
X
,
Y
]
=
0
{\displaystyle [X,Y]=0\,}
若且為若X 與 Y 的流局部交換,此指對所有x ∈ M 且足夠小的s , t ,
(
Φ
t
Y
Φ
s
X
)
(
x
)
=
(
Φ
s
X
Φ
t
Y
)
(
x
)
{\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}
。
而這為弗羅貝尼烏斯定理 的特例。
應用
在證明控制仿射無漂系統(driftless affine control system)的小時間局部可控制性(small-time local controllability、STLC)時,李氏括號是其中重要的一部份。
總結
相關條目
參考
其他閱讀
Hazewinkel, Michiel (編), Lie bracket , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Isaiah, Pantelis, Controlled parking [Ask the experts], IEEE Control Systems Magazine, 2009, 29 (3): 17–21, 132, doi:10.1109/MCS.2009.932394
Khalil, H.K. , Nonlinear Systems 3rd, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall , 2002 [2019-08-03 ] , ISBN 0-13-067389-7 , (原始內容存檔 於2017-07-25)
Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry , Springer-Verlag, 1993 [2019-08-03 ] , (原始內容存檔 於2021-02-14) Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1 For generalizations to infinite dimensions.
Lewis, Andrew D., Notes on (Nonlinear) Control Theory (PDF) [永久失效連結 ]
Warner, Frank, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York-Berlin: Springer-Verlag, 1983 [1971], ISBN 0-387-90894-3